(1) 평행한 두 평면 $\alpha, \; \beta$ 가 또 다른 평면 $\gamma$ 와 만나서 생기는 교선을 각각 $l, \; m$ 이라고 하면, 두 교선 $l, \;m$ 은 서로 평행하다.
두 평면 $\alpha, \; \beta$ 는 평행하므로 만나지 않는다. 따라서 평면 $\alpha$ 에 포함된 직선 $l$ 과 평면 $\beta$ 에 포함된 직선 $m$도 서로 만나지 않는다. 그런데 두 직선 $l, \;m$ 은 모두 평면 $ \gamma$ 에 있으므로 $l \parallel m$ 이다.
(2) 두 평면 $\alpha$ 와 $\beta$ 가 평행하면 평면 $\alpha$ 에 포함되는 직선은 평면 $\beta$ 와 평행하다.
직선 $l$ 이 평면 $\beta$ 와 평행하지 않으면 직선 $l$ 과 평면 $\beta$ 는 적어도 하나의 공유점 $\rm P$ 를 가지게 된다. 이때, 직선 $ l$ 이 평면 $\alpha$ 에 포함되므로, 점 $\rm P$ 는 두 평면 $\alpha$ 와 $\beta$ 의 공유점이 되어 두 평면이 평행하다는 가정에 모순이다. 따라서 직선 $ l$ 과 평면 $\beta$ 는 평행하다.
단, 직선 $l$ 이 평면 $\beta$ 와 평행하여도 직선 $l$을 포함하는 평면 $ \alpha$ 와 평면 $\beta$ 가 평행한 것은 아니다.
(3) 두 직선 $l$ 과 $m$ 이 평행할 때, 직선 $l$ 을 포함하는 평면 $\alpha$ 가 직선 $m$ 을 포함하지 않으면 직선 $m$ 과 평면 $\alpha$ 는 서로 평행하다.
두 직선 $l$ 과 $m$ 은 서로 평행하므로 한 평면 $\beta$ 를 결정한다. 직선 $ m$ 과 평면 $\alpha$ 가 점 $\rm P$ 에서 만난다고 하면 직선 $m$ 이 평면 $\beta$ 에 포함되므로 점 $\rm P$ 는 평면 $\beta$ 위의 점이다. 따라서 점 $\rm P$ 는 두 평면 $\alpha$ 와 $\beta$ 의 공유점이다. 한편, 직선 $l$ 은 서로 다른 두 평면 $\alpha$ 와 $\beta$ 의 교선이므로 점 $\rm P$ 는 직선 $ l$ 위의 점이 되어 두 직선 $l$ 과 $ m$ 이 평행하다는 가정에 모순이다. 따라서 직선 $m$ 과 평면 $\alpha$ 는 서로 평행하다.
(4) 직선 $l$ 과 평면 $ \alpha$ 가 평행할 때, 직선 $l$ 을 포함하는 평면 $ \beta$ 와 평면 $\alpha$ 가 교선 $m$을 가지면 두 직선 $l, \;m$ 은 서로 평행하다.
직선 $l$ 과 평면 $\alpha$ 는 평행하므로 만나지 않는다. 따라서 직선 $l$은 평면 $\alpha$ 위에 있는 직선 $m$ 과 만나지 않는다. 그런데 직선 $l$ 과 직선 $m$ 은 같은 평면 $\beta$ 위에 있으므로 두 직선 $l, \;m$ 은 서로 평행한다.
(5) 두 평면 $\alpha$ 와 $\beta$ 의 교선 $ l$ 과 평면 $\gamma$ 가 평행할 때, 두 평면 $\alpha$ 와 $\gamma$ 의 교선 $m$ 과 두 평면 $ \beta$ 와 $\gamma$ 의 교선 $n$ 은 서로 평행하다.
성질 (4)를 이용하여 증명할 수 있다. 각자 해 보시길...
(6) 세 직선 $l, \;m, \; n$ 에 대하여 $l \parallel m$ 이고 $m \parallel n$ 이면 $l \parallel n$ 이다.
세 직선 $l, \;m, \; n$ 이 한 평면 위에 있을 때 두 직선 $l, \; n$ 이 만나서 교점 $\rm A$ 가 생기면 점 $ \rm A$ 를 지나고 직선 $ m$ 와 평행한 직선이 2개가 되어 모순이다. 따라서 두 직선 $l, \; n$ 은 만나지 않는다. $\therefore l \parallel n$
세 직선 $l, \; m, \;n$ 이 한 평면 위에 있지 않을 때, $l \parallel m$ 이므로 두 직선 $l, \;m$ 이 결정하는 평면을 $\alpha$ 라 하자. 이때, 직선 $l$ 위의 한 점 $\rm A$ 와 직선 $n$ 이 결정하는 평면을 $\beta$ 라고 하면 (3) 에 의하여 $m \parallel \beta$ 이다. 또 두 평면 $\alpha, \; \beta$ 의 교선을 $l'$ 이라 하면 $m \parallel \beta$ 이고, $l'$ 는 $\beta$ 위에 있으므로 $m$ 과 $l'$ 는 만나지 않고 $m$ 과 $l'$ 는 모두 $\alpha$ 위에 있으므로 $l' \parallel m$ 이다. 그런데 평면 $\alpha$ 위의 두 직선 $l, \;, l'$ 는 한 점 $\rm A$를 지나면서 직선 $m$ 에 평행하므로 일치한다. 또한 $m \parallel n$ 이므로 (3) 에 의하여 $n \parallel \alpha$ 이고 직선 $n$ 은 평면 $\alpha$ 위의 직선 $l'$ 와 만나지 않는다. 또 두 직선 $n, \;l'$ 는 평면 $\beta$ 위에 있으므로 $n \parallel l'$ 이다. $\therefore l \parallel n$
따라서 $l \parallel n$ 이다.
(7) 평면 $\alpha$ 위에 있지 않은 점 $\rm P$ 를 지나고 평면 $\alpha$ 에 평행한 서로 다른 두 직선 $l, \;m$ 에 의하여 결정되는 평면 $\beta$ 는 평면 $\alpha$ 와 평행하다.
아래 그림과 같이 두 평면 $\alpha, \;, \beta$ 가 평향하지 않고 교선 $n$ 을 공유한다고 가정하자. 이때, 교선 $n$ 은 평면 $\alpha$ 에 포함되고, $l \parallel \alpha, \;\; m \parallel \alpha$ 이므로 직선 $ n$ 은 두 직선 $l, \;m$ 과 만나지 않는다. 그런데 세 직선 $l, \;m, \;n$ 모두 평면 $\beta$ 에 포함되므로 $l \parallel n, \;\; m \parallel n$ 이다. 따라서 $l \parallel m$ 이 된다. 이것은 두 직선 $l, \;m$ 이 점 $\rm P$ 에서 만나다는 사실에 모순이다. $\therefore \alpha \parallel \beta$
두 직선이 이루는 각, 직선과 평면의 수직, 직선과 평면이 이루는 각
두 평면이 이루는 각, 두 평면의 수직 관계
직선과 평면의 수직에 대한 성질 - 알고 있으면 도움되는 심화 내용
직선 $l$ 이 평면 $\alpha$ 와 수직일 때, 직선 $l$ 을 포함하는 평면 $\beta$ 는 평면 $\alpha$ 와 수직이다.
두 평면 $\alpha, \; \beta$ 의 교선을 $m$, 직선 $l$ 과 평면 $\alpha$ 와의 교점을 $\rm O$, 직선 $ l$ 위의 점 $\rm O$ 가 아닌 한 점을 $\rm A$ 라 하자. 이때, 점 $\rm O$ 를 지나고 직선 $m$ 에 수직인 평면 $\alpha$ 위의 직선 $\rm OB$ 를 그으면 $\overline{\rm OA} \bot m, \;\; \overline{\rm OB} \bot m$ 이므로 두 평면 $\alpha, \; \beta$ 가 이루는 각의 크기는 $\angle {\rm AOB}$ 와 같다. 그런데 $ l \bot \alpha$ 이므로 $\overline{\rm OA} \bot \overline{\rm OB}$ 이고, 따라서 $\angle {\rm AOB}=90^{\rm o}$ 가 된다. $\therefore \alpha \bot \beta$
두 평면 $\alpha, \; \beta$ 가 서로 수직일 때, 평면 $\beta$ 위의 한 점 $\rm A$ 에서 평면 $\alpha$ 의 교선에 내린 수선의 발을 $\rm O$ 라 하면 $\overline{\rm AO} \bot \alpha$ 이다.
두 평면 $\alpha, \; \beta$ 의 교선을 $m$ 이라 하자. 이때, 평면 $\alpha$ 위의 점 $\rm O$ 를 지나고 직선 $m$ 에 수직인 직선을 긋고 이 직선 위에 점 $ \rm O$ 가 아닌 한 점 $\rm B$ 를 잡으면 $ \alpha \bot \beta$ 이므로 $\angle {\rm AOB}=90^{\rm o}$이고, 따라서 $\overline{\rm AO} \bot \overline{\rm BO}$ 가 된다.
또, 점 $\rm A$ 에서 직선 $ m$ 에 내린 수선의 발이 점 $\rm O$ 이므로 $\overline{\rm AO} \bot m$ 이다. 따라서 $\overline{\rm AO}$ 는 평면 $\alpha$ 위의 $\overline{\rm BO}$, 직선 $m$ 과 각각 수직이므로 $\overline{\rm AO} \bot \alpha$ 이다.
평면 $\alpha$ 에 수직인 두 평면 $\beta, \; \gamma$ 의 교선 $l$ 은 $\alpha$ 와 수직이다.
두 평면 $\alpha, \; \beta$ 와 두 평면 $\alpha, \; \gamma$ 의 교선을 각각 $m, \; n$ 이라 하고, 두 직선 $m, \; n$ 의 교점을 $\rm O$ 라 하자. 이때, 평면 $\alpha$ 에서 점 $\rm O$ 를 지나며 직선 $m$ 에 수직인 직선을 $a$, 평면 $\beta$ 에서 점 $\rm O$ 를 지나며 직선 $m$ 에 수직인 직선을 $b$ 라 하면 $\alpha \bot \beta$ 이므로 $b \bot a$ 가 된다. 즉, 직선 $b$ 는 평면 $\alpha$ 위의 평행하지 않은 두 직선 $a, \;m$ 과 수직이므로 $ b\bot \alpha$ 이다. 마찬가지로 평면 $\gamma$ 에서 점 $\rm O$ 를 지나며 직선 $n$ 에 수직인 직선을 $c$ 라 하면 $c \bot \alpha$ 이다. 그런데 점 $\rm O$ 를 지나는 평면 $\alpha$ 의 수선은 유일하므로 두 직선 $b, \; c$ 는 일치한다. 또한, 점 $\rm O$ 는 교선 $l$ 위의 점이므로 세 직선 $b, \;c, \; l$ 은 일치한다. $\therefore l \bot \alpha$
