수악중독

그림과 같이 원을 $6$ 등분한 각 점에 차례로 $1$ 부터 $6$ 까지의 번호를 붙였다. 이 점들 중에서 한 개의 주사위를 $n$ 번 던져서 한 번 이상 나오는 눈의 수가 붙은 점만 남기고 나머지 점은 모두 지울 때, 남아 있는 점 중에서 서로 다른 $3$ 개의 점을 연결하여 만들 수 있는 직각삼각형이 존재하지 않을 확률을 $p_n$ 이라 하자. $\sum \limits_{n=1}^\infty p_n = \dfrac{b}{a}$ 일 때, 서로소인 두 자연수 $a, \; b$ 에 대하여 $a+b$ 의 값을 구하시오. (단, 남아 있는 서로 다른 점의 개수가 $2$ 이하이면 만들 수 있는 직각삼각형은 존재하지 않는 것으로 한다.) 정답 $9$

한 주머니에 들어 있는 $9$개의 공을 각각 $x_1, \; x_2, \; x_3, \; \cdots, \; x_9$ 라 하고, 공 $x_i$ 의 부피와 무게를 각각 $V_i, \; m_i$ $(i=1, \; 2, \;3, \; \cdots, \; 9)$ 라 할 때, $V_1 m_2 > m_3 > \cdots > m_9$ 가 성립한다. 이 주머니에 들어 있는 $9$개의 공을 임의로 $3$개씩 $3$개의 주머니 $\rm A, \; B, \;C$ 에 나누어 넣을 때, 각 주머니에 들어 있는 공 중 부피가 최대인 공의 부피를 각각 $V_{\rm A}, \; V_{\rm B}, \; V_{\rm C}$ 라 하고, 무게가 최대인 공의 무게를 각각 $m_{\rm A}, \; m_{\rm B}, \; m_{\rm..

흰 공 $2$ 개, 빨간 공 $4$ 개가 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 $2$ 개의 공을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 $2$ 개의 공이 모두 흰 공일 확률이 $\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 정답 $16$ $\dfrac{_2{\rm C}_2}{_6{\rm C}_2} = \dfrac{1}{15} = \dfrac{q}{p}$\therefore p=15, \; q=1$\therefore p+q=16$

어느 고등학교 체육 대회에서 이어달리기 학급대표로 세 학생 $\rm A, \; B, \;C$ 를 포함한 $5$ 명의 학생이 선발되었다. 이 $5$ 명의 학생들이 달리는 순서를 정할 때, 두 학생 $\rm A, \;B$ 가 학생 $\rm C$ 보다 먼저 달리는 순서로 정해질 확률은 $p$ 이다. $90p$ 의 값을 구하시오. 정답 $30$

주머니 $A$ 와 $B$ 에는 $1, \;2, \;3, \;4, \; 5$ 의 숫자가 하나씩 적혀 있는 $5$ 개의 공이 각각 들어 있다. 주머니 $A$ 와 $B$ 에서 각각 공을 임의로 한 개씩 꺼내어 주머니 $A$ 에서 꺼낸 공에 적혀 있는 수를 $a$, 주머니 $B$ 에서 꺼낸 공에 적혀 있는 수를 $b$ 라 할 때, 직선 $y=ax+b$ 가 곡선 $y=-\dfrac{1}{2}x^2+3x$ 와 만나지 않을 확률은? ① $\dfrac{17}{25}$ ② $\dfrac{18}{25}$ ③ $\dfrac{19}{25}$ ④ $\dfrac{4}{5}$ ⑤ $\dfrac{21}{25}$ 정답 ⑤

아래 그림과 같이 가운데를 제외하고 4개의 부분으로 나뉘어진 영역에 임의로 빨간색, 파란색과 노란색을 칠할 때, 경계가 닿아 있는 영역끼리는 서로 다른 색으로 칠해질 확률은? ① $\Large \frac{1}{9}$ ② $\Large \frac{1}{6}$ ③ $\Large \frac{2}{9}$ ④ $\Large \frac{1}{3}$ ⑤ $\Large \frac{4}{9}$ 정답 ③

그림과 같이 반지름의 길이가 각각 $1, \; 2 , \; 3 , \; \cdots , \; 10$ 인 $10$ 개의 동심원으로 이루어진 과녁에 반지름의 길이가 $1$ 인 원부터 차례로 $10$ 점, $9$ 점, $\cdots$, $1$ 점의 점수가 매겨져 있다. 이 과녁에 임의로 한 발의 화살을 쏠 때, 홀수 점수를 받을 확률을 구하시오. (단, 화살은 반드시 과녁에 맞고, 경계선에는 맞지 않는다고 가정한다.) 정답 $\dfrac{11}{20}$

주머니에 $1, \;1, \;2,\;3,\;4$ 의 숫자가 하나씩 적혀 있는 $5$ 개의 공이 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 $4$ 개의 공을 동시에 꺼내어 임의로 일렬로 나열하고, 나열된 순서대로 공에 적혀 있는 수를 $a. \; b,\; c,\; d$ 라 할 때, $a \le b \le c \le d$ 일 확률은? ① $\dfrac{1}{15}$ ② $\dfrac{1}{12}$ ③ $\dfrac{1}{9}$ ④ $\dfrac{1}{6}$ ⑤ $\dfrac{1}{3}$ 정답 ①

그림과 같이 $1, \;2,\;3,\;4,\;5,\;6$ 의 숫자가 한 면에만 각각 적혀 있는 $6$ 장의 카드가 일렬로 놓여 있다. 주사위 한 개를 던져서 나온 눈의 수가 $2$ 이하이면 가장 작은 숫자가 적혀 있는 카드 $1$ 장을 뒤집고, $3$ 이상이면 가장 작은 숫자가 적혀 있는 카드부터 차례로 $2$ 장의 카드를 뒤집는 시행을 한다. $3$ 번째 시행에서 $4$ 가 적혀 있는 카드가 뒤집어질 확률은? (단, 모든 카드는 한 번만 뒤집는다.)① $\dfrac{4}{9}$ ②$\dfrac{13}{27}$ ③ $\dfrac{14}{27}$ ④ $\dfrac{5}{9}$ ⑤ $\dfrac{16}{27}$ 정답 ③

$8$ 명의 선수가 참가한 테니스 대회의 대진표가 아래 그림과 같다. 경기는 토너먼트 방식으로 진행되고, $8$ 명의 참가자는 모두 실력 차이가 있어서, 각 경기에서는 실력이 뛰어난 선수가 언제가 이긴다고 한다. 대진표에서 상대 선수는 실력에 관계없이 추첨으로 정할 때, 실력이 $3$ 위인 선수가 실력이 $1$ 위인 선수와 경기를 하게 될 확률은? ① $\dfrac{2}{3}$ ② $\dfrac{5}{7}$ ③ $\dfrac{16}{21}$ ④ $\dfrac{17}{21}$ ⑤ $\dfrac{6}{7}$ 정답 ①