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수학2-2 미분 본문

수학2 - 개념정리

수학2-2 미분

수악중독 2019. 1. 17. 03:59
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1. 평균변화율과 미분계수

 

 

 

2. 미분계수의 기하학적 의미

 

 

 

3. 미분가능성과 연속성

 

 

4. 도함수

 

 

 

5. 함수 $f(x)=x^n$ 의 도함수

 

 

 

6. 함수의 실수배, 합, 차, 곱의 미분법

 

 

 

7. 접선의 방정식

 

 

 

8. 롤의 정리

 

 

 

9. 평균값 정리

 

 

 

10. 함수의 증가와 감소

 

 

 

11. 함수의 증가와 감소 - 예제 풀이

 

 

 

12. 함수의 극대와 극소

 

 

 

13. 극값과 미분계수

 

 

 

14. 극대와 극소의 판정

 

 

 

15. 함수의 그래프 그리기

 

 

 

16. 함수의 최댓값과 최솟값

 

 

 

17. 함수의 그래프와 방정식의 실근

 

 

 

18. 함수의 그래프와 부등식의 증명

 

 

 

 

19. 속도와 가속도

 

 


 

닫힌구간에서 정의된 함수의 양 끝점에서는 극대나 극소를 갖는 것인지에 대한 질문을 많이 합니다.

예를 들면 닫힌구간 $[0, \; 12]$ 에서 정의된 함수 $y=f(x)$ 의 그래프가 다음과 같을 때, $x=0$ 에서 극솟값을 갖고, $x=12 $ 에서 극댓값을 갖는 것인지에 대해서 많은 학생들이 궁금해 한다는 것입니다.

 

사실 이 내용은 고등학교에서 다룰 내용은 아닙니다.

 

극대 극소의 정의에 따르면 $x=0$ 또는 $x=12$ 에서는 극대, 극소를 가질 수 없습니다.

$x=0$ 을 포함하는 열린구간이나 $x=12$ 를 포함하는 열린구간을 정의역 $[0, 12]$ 내에서 생각할 수가 없기 때문입니다.

그런데 구간 $[0, 1)$ 의 모든 $x$ 에 대해서  $f(x) \ge f(0) $ 를 만족합니다. 

또한 구간  $(11, 12]$ 의 모든 $x$ 에 대해서 $f(x) \le f(12)$ 를 만족하죠.

즉, 구간의 양 끝점에서만 예외적으로 "열린구간" 이란 부분을 "반닫힌구간" 이라고 바꿀 수 있다면, $x=0$ 에서 함수 $y=f(x)$ 는 극소가 되고, $x=12$ 에서 함수 $f(x)$ 는 극대가 된다고 말 할 수 있습니다.

이렇게 되면 닫힌구간에서 최대, 최소를 구할 때, 구간 내의 극댓값 중 가장 큰 것이 최댓값이고, 구간 내의 극솟값 중 가장 작은 것이 최솟값이 된다라고 말할 수 있게 됩니다.

(교육과정에서는 구간의 양 끝점에서의 함숫값과 구간 내에 들어오는 극댓값 혹은 극솟값 중 가능 큰 것이 최댓값이고, 가장 작은 것이 최솟값이라고 가르칩니다.)

극댓값을 영어로 local maximum, 극솟값을 영어로 local minimum 이라고 합니다.

상식적으로 생각해보면 최댓값 (absolute maximum)은 당연히 극댓값(local maximum) 중 하나여야 하고, 최솟값(absolute minimum)은 당연히 극솟값(local minimum) 중 하나여야 합니다. 

이런 측면에서 볼 때,  닫힌 구간의 양 끝점에서는 극대, 극소의 정의를 좀 다르게 확장하여 해석, 적용하는 것이 뭔가 자연스러운 결과를 만들어 낸다고 볼 수 있습니다.

그래서 구간의 양 끝점에서도 극대, 극소를 따지기도 합니다.

 

다시 말씀드리지만, 이 내용은 고등학교에서 다룰 내용은 아닙니다. 수능이나 수능 모의고사에는 이와 관련된 내용이 출제되지 않을 것이니 안심하셔도 됩니다.

그냥 저렇게 볼 수도 있구나! ~ 정도로 생각하시면 될 것 같습니다.

 

 


 

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2 Comments
  • 프로필사진 Favicon of https://ryeui.tistory.com BlogIcon ryeui 2020.12.10 16:21 신고 선생님 덕분에 극대 극소 궁금점이 시원하게 해결됐습니다!
    극대극소 강의에서 열린구간이여야만 하는 이유, 극점이 없는 지점에서 열린구간을 설정하면 극점이 존재할 수 없는 이유
    설명들으니 당연하게 수긍됐지만 계속 이해가 안갔었거든요. 역시나 선생님 강의 한방에 해결됐네요ㅎ
    다른 선생님이나 개념설명해주는 곳들 들어가서 찾아봐도 이런 내용은 설명 안해주던데, 항상 이런부분까지 이해위주로 설명해주셔서
    혼자 공부하다 이해 안가는 부분은 꼭 선생님 강의 찾아봐요. 항상 감사합니다!
    선생님께 계속 도움 받다보니, 저도 선생님처럼 선한 영향력을 펼치는 사람이 되고 싶어요 :)
  • 프로필사진 Favicon of https://mathjk.tistory.com BlogIcon 수악중독 2020.12.13 23:22 신고 댓글 남겨주셔서 감사합니다.
    열공하셔서 꼭 꿈이루시길 바랍니다.
    응원합니다.~~
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