수학2-2 미분

1. 평균변화율과 미분계수

 

 

 

2. 미분계수의 기하학적 의미

 

 

 

3. 미분가능성과 연속성

 

 

4. 도함수

 

 

 

5. 함수 $f(x)=x^n$ 의 도함수

 

 

 

6. 함수의 실수배, 합, 차, 곱의 미분법

 

 

 

7. 접선의 방정식

 

 

 

8. 롤의 정리

 

 

 

9. 평균값 정리

 

 

 

10. 함수의 증가와 감소

 

 

 

11. 함수의 증가와 감소 - 예제 풀이

 

 

 

12. 함수의 극대와 극소

 

 

 

13. 극값과 미분계수

 

 

 

14. 극대와 극소의 판정

 

 

 

15. 함수의 그래프 그리기

 

 

 

16. 함수의 최댓값과 최솟값

 

 

 

17. 함수의 그래프와 방정식의 실근

 

 

 

18. 함수의 그래프와 부등식의 증명

 

 

 

 

19. 속도와 가속도

 

 

---

 

닫힌구간에서 정의된 함수의 양 끝점에서는 극대나 극소를 갖는 것인지에 대한 질문을 많이 합니다.

예를 들면 닫힌구간 $[0, \; 12]$ 에서 정의된 함수 $y=f(x)$ 의 그래프가 다음과 같을 때, $x=0$ 에서 극솟값을 갖고, $x=12 $ 에서 극댓값을 갖는 것인지에 대해서 많은 학생들이 궁금해 한다는 것입니다.

 

사실 이 내용은 고등학교에서 다룰 내용은 아닙니다.

 

극대 극소의 정의에 따르면 $x=0$ 또는 $x=12$ 에서는 극대, 극소를 가질 수 없습니다.

$x=0$ 을 포함하는 열린구간이나 $x=12$ 를 포함하는 열린구간을 정의역 $[0, 12]$ 내에서 생각할 수가 없기 때문입니다.

그런데 구간 $[0, 1)$ 의 모든 $x$ 에 대해서  $f(x) \ge f(0) $ 를 만족합니다. 

또한 구간  $(11, 12]$ 의 모든 $x$ 에 대해서 $f(x) \le f(12)$ 를 만족하죠.

즉, 구간의 양 끝점에서만 예외적으로 "열린구간" 이란 부분을 "반닫힌구간" 이라고 바꿀 수 있다면, $x=0$ 에서 함수 $y=f(x)$ 는 극소가 되고, $x=12$ 에서 함수 $f(x)$ 는 극대가 된다고 말 할 수 있습니다.

이렇게 되면 닫힌구간에서 최대, 최소를 구할 때, 구간 내의 극댓값 중 가장 큰 것이 최댓값이고, 구간 내의 극솟값 중 가장 작은 것이 최솟값이 된다라고 말할 수 있게 됩니다.

(교육과정에서는 구간의 양 끝점에서의 함숫값과 구간 내에 들어오는 극댓값 혹은 극솟값 중 가능 큰 것이 최댓값이고, 가장 작은 것이 최솟값이라고 가르칩니다.)

극댓값을 영어로 local maximum, 극솟값을 영어로 local minimum 이라고 합니다.

상식적으로 생각해보면 최댓값 (absolute maximum)은 당연히 극댓값(local maximum) 중 하나여야 하고, 최솟값(absolute minimum)은 당연히 극솟값(local minimum) 중 하나여야 합니다. 

이런 측면에서 볼 때,  닫힌 구간의 양 끝점에서는 극대, 극소의 정의를 좀 다르게 확장하여 해석, 적용하는 것이 뭔가 자연스러운 결과를 만들어 낸다고 볼 수 있습니다.

그래서 구간의 양 끝점에서도 극대, 극소를 따지기도 합니다.

 

다시 말씀드리지만, 이 내용은 고등학교에서 다룰 내용은 아닙니다. 수능이나 수능 모의고사에는 이와 관련된 내용이 출제되지 않을 것이니 안심하셔도 됩니다.

그냥 저렇게 볼 수도 있구나! ~ 정도로 생각하시면 될 것 같습니다.