수악중독

그림과 같이 원을 $6$ 등분한 각 점에 차례로 $1$ 부터 $6$ 까지의 번호를 붙였다. 이 점들 중에서 한 개의 주사위를 $n$ 번 던져서 한 번 이상 나오는 눈의 수가 붙은 점만 남기고 나머지 점은 모두 지울 때, 남아 있는 점 중에서 서로 다른 $3$ 개의 점을 연결하여 만들 수 있는 직각삼각형이 존재하지 않을 확률을 $p_n$ 이라 하자. $\sum \limits_{n=1}^\infty p_n = \dfrac{b}{a}$ 일 때, 서로소인 두 자연수 $a, \; b$ 에 대하여 $a+b$ 의 값을 구하시오. (단, 남아 있는 서로 다른 점의 개수가 $2$ 이하이면 만들 수 있는 직각삼각형은 존재하지 않는 것으로 한다.) 정답 $9$

주머니에 흰 공 $1$ 개, 검은 공 $2$ 개가 들어있다. $\rm A, \; B$ 두 사람이 차례로 $1$ 개의 주사위를 한 번씩 던질 때 나오는 눈의 수를 각각 $a, \; b$ 라 하자. 이때 $a>b$ 이면 $\rm A$ 가 주머니에서 공을 임의로 $1$ 개 꺼내고, $a \le b$ 이면 $\rm B$ 가 주머니에서 임의로 $2$ 개의 공을 동시에 꺼낸다. 이 시행에서 흰 공이 나왔을 때, $a=5$ 이었을 확률은 $\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 정답 $65$

한 주머니에 들어 있는 $9$개의 공을 각각 $x_1, \; x_2, \; x_3, \; \cdots, \; x_9$ 라 하고, 공 $x_i$ 의 부피와 무게를 각각 $V_i, \; m_i$ $(i=1, \; 2, \;3, \; \cdots, \; 9)$ 라 할 때, $V_1 m_2 > m_3 > \cdots > m_9$ 가 성립한다. 이 주머니에 들어 있는 $9$개의 공을 임의로 $3$개씩 $3$개의 주머니 $\rm A, \; B, \;C$ 에 나누어 넣을 때, 각 주머니에 들어 있는 공 중 부피가 최대인 공의 부피를 각각 $V_{\rm A}, \; V_{\rm B}, \; V_{\rm C}$ 라 하고, 무게가 최대인 공의 무게를 각각 $m_{\rm A}, \; m_{\rm B}, \; m_{\rm..

그림과 같이 $3$ 개의 주머니에 모양과 크기가 같은 공이 각각 $3$ 개씩 들어 있고, 각 주머니에 있는 공에는 $1, \;2, \;3$ 의 숫자가 한 개씩 적혀 있다. 각 주머니에서 임의로 공을 하나씩 꺼낼 때, 꺼낸 공에 적힌 세 숫자가 모두 다르면 상품을 받기로 하였다. 갑이 먼저 각 주머니에서 임의로 공을 꺼낸 다음, 을이 각 주머니에서 임의로 공을 한 개씩 꺼낸다. 갑이 상품을 받지 못했을 때, 을이 상품을 받았을 확률은 $\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, 갑이 꺼낸 공은 다시 넣지 않고, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 정답 $17$

어느 고등학교 체육 대회에서 이어달리기 학급대표로 세 학생 $\rm A, \; B, \;C$ 를 포함한 $5$ 명의 학생이 선발되었다. 이 $5$ 명의 학생들이 달리는 순서를 정할 때, 두 학생 $\rm A, \;B$ 가 학생 $\rm C$ 보다 먼저 달리는 순서로 정해질 확률은 $p$ 이다. $90p$ 의 값을 구하시오. 정답 $30$

주머니 $A$ 와 $B$ 에는 $1, \;2, \;3, \;4, \; 5$ 의 숫자가 하나씩 적혀 있는 $5$ 개의 공이 각각 들어 있다. 주머니 $A$ 와 $B$ 에서 각각 공을 임의로 한 개씩 꺼내어 주머니 $A$ 에서 꺼낸 공에 적혀 있는 수를 $a$, 주머니 $B$ 에서 꺼낸 공에 적혀 있는 수를 $b$ 라 할 때, 직선 $y=ax+b$ 가 곡선 $y=-\dfrac{1}{2}x^2+3x$ 와 만나지 않을 확률은? ① $\dfrac{17}{25}$ ② $\dfrac{18}{25}$ ③ $\dfrac{19}{25}$ ④ $\dfrac{4}{5}$ ⑤ $\dfrac{21}{25}$ 정답 ⑤

상자에는 딸기 맛 사탕 $6$ 개와 포도 맛 사탕 $9$ 개가 들어 있다. 두 사람 $A$ 와 $B$ 가 이 순서대로 이 상자에서 임의로 $1$ 개의 사탕을 각각 $1$ 번 꺼낼 때, $A$ 가 꺼낸 사탕이 딸기 맛 사탕이고, $B$ 가 꺼낸 사탕이 포도 맛 사탕일 확률을 $p$ 라 하자. $70p$ 의 값을 구하시오. (단, 꺼낸 사탕은 상자에 다시 넣지 않는다.) 정답 $18$

주머니에 $1$ 부터 $10$ 까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 $10$ 개의 공이 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 $5$ 개의 공을 동시에 꺼낼 때 꺼낸 공에 적혀 있는 자연수 중 연속된 자연수의 최대 개수가 $3$ 인 사건을 $A$ 라 하자. 예를 들어, 은 연속된 자연수의 최대 개수가 $3$ 이므로 사건 $A$ 에 속하고, 은 연속된 자연수의 최대 개수가 $2$ 이므로 사건 $A$ 에 속하지 않는다. 사건 $A$ 가 일어날 확률은? ① $\dfrac{1}{6}$ ② $\dfrac{3}{14}$ ③ $\dfrac{11}{42}$ ④ $\dfrac{13}{42}$ ⑤ $\dfrac{5}{14}$ 정답 ⑤

$1$ 부터 $7$ 까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 $7$ 개의 공이 들어 있는 상자에서 임의로 $1$ 개의 공을 꺼내는 시행을 반복할 때, 짝수가 적혀 있는 공을 모두 꺼내면 시행을 멈춘다. $5$ 번째까지 시행을 한 후 시행을 멈출 확률은? (단, 꺼낸 공은 다시 넣지 않는다.) ① $\dfrac{6}{35}$ ② $\dfrac{1}{5}$ ③ $\dfrac{8}{35}$ ④ $\dfrac{9}{35}$ ⑤ $\dfrac{2}{7}$ 정답 ①

$50$ 원, $100$ 원 , $500$ 원짜리 동전이 각각 $3$ 개씩 모두 $9$ 개가 들어있는 지갑에서 동전 $3$ 개를 임의로 꺼낼 때, 꺼낸 모든 동전 금액의 합이 $250$ 원 이상일 확률을 $\dfrac{q}{p}$ 라 하자. 이때, $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p,\;q$ 는 서로소인 자연수이다.) 정답 $79$