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목록수학2 - 문제풀이/미분 (136)
수악중독
함수 $$f(x)=\begin{cases} ax^2+bx+1 & (x
다항함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)=\left (x^2-2x \right ) f(x)$$ 라 하자. $g'(0)+g'(2)=16$ 일 때, $f(2)-f(0)$ 의 값은? ① $6$ ② $8$ ③ $10$ ④ $12$ ⑤ $14$ 더보기 정답 ②
실수 $k$ 에 대하여 함수 $f(x)$ 는 $f(x)=x^3-6x^2+9x+k$ 이다. 자연수 $n$ 에 대하여 직선 $y=3n$ 과 함수 $y=f(x)$ 의 그래프가 만나는 점의 개수를 $a_n$ 이라 하자. $\sum \limits_{n=1}^4 a_n = 7$ 을 만족시키는 모든 $k$ 의 값의 합은? ① $30$ ② $33$ ③ $36$ ④ $39$ ⑤ $42$ 더보기 정답 ②
함수 $f(x)=(x+1)(x-6)^2$ 과 양의 실수 $t$ 에 대하여 $g(t)$ 를 다음과 같이 정의한다. 두 점 $(0, \; 0)$ , $(t, \; f(t))$ 를 지나는 직선의 기울기와 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(k, \; f(k))$ 에서의 접선의 기울기가 같아지는 양의 실수 $k$ 의 개수가 $1$ 이면 $k$ 의 값을 $g(t)$, $2$ 이면 $k$ 의 값 중 작은 값을 $g(t)$ 라 한다. 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $f'(0)=24$ ㄴ. $g(6)=\dfrac{4}{3}$ ㄷ. 함수 $g(t)$ 의 치역의 원소가 아닌 모든 자연수의 합은 $27$ 이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 더보기 정답 ⑤
수직선 위를 움직이는 두 점 $\mathrm{P, \; Q}$ 의 시각 $t\; (t>0)$ 에서의 위치가 각각 $$x_1(t)=t^3-3t^2-24t, \quad x_2(t)=t^2-at$$ 이다. 두 점 $\mathrm{P, \; Q}$ 의 운동 방향이 시각 $t=k$ 에서 동시에 바뀔 때, $a+k$ 의 값을 구하시오. (단, $a$ 와 $k$ 는 상수이다.) 더보기 정답 $12$
함수 $f(x)=\dfrac{1}{3}x^3-2x^2-12x+4$ 가 $x=\alpha$ 에서 극대이고, $x=\beta$ 에서 극소일 때, $\beta-\alpha$ 의 값은? (단, $\alpha$ 와 $\beta$ 는 상수이다.) ① $-4$ ② $-1$ ③ $2$ ④ $5$ ⑤ $8$ 더보기 정답 ⑤
두 자연수 $a, \; b$ 에 대하여 함수 $f(x)$ 는 $$f(x)=\begin{cases}2x^3-6x+1 & (x \le 2) \\ a(x-2)(x-b)+9 & (x>2)\end{cases}$$ 이다. 실수 $t$ 에 대하여 함수 $y=f(x)$ 의 그래프와 직선 $y=t$ 가 만나는 점의 개수를 $g(t)$ 라 하자. $$g(k)+\lim \limits_{t \to k-}g(t)+\lim \limits_{t \to k+}g(t)=9$$ 를 만족시키는 실수 $k$ 의 개수가 $1$ 이 되도록 하는 두 자연수 $a, \; b$ 의 순서쌍 $(a, \; b)$ 에 대하여 $a+b$ 의 최댓값은? ① $51$ ② $52$ ③ $53$ ④ $54$ ⑤ $55$ 더보기 정답 ①
함수 $f(x)=(x+1)\left (x^2+3 \right )$ 에 대하여 $f'(1)$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $8$
$a>\sqrt{2}$ 인 실수 $a$ 에 대하여 함수 $f(x)$ 를 $$f(x)=-x^3+ax^2+2x$$ 라 하자. 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $\mathrm{O}(0, \; 0)$ 에서의 접선이 곡선 $y=f(x)$ 와 만나는 점 중 $\mathrm{O}$ 가 아닌 점을 $\mathrm{A}$ 라 하고, 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $\mathrm{A}$ 에서의 접선이 $x$ 축과 만나는 점을 $\mathrm{B}$ 라 하자. 점 $\mathrm{A}$ 가 선분 $\mathrm{OB}$ 를 지름으로 하는 원 위의 점일 때, $\overline{\mathrm{OA}}\times \overline{\mathrm{AB}}$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $25$