수악중독

함수 $f(x)=\dfrac{1}{3}x^3-2x^2-12x+4$ 가 $x=\alpha$ 에서 극대이고, $x=\beta$ 에서 극소일 때, $\beta-\alpha$ 의 값은? (단, $\alpha$ 와 $\beta$ 는 상수이다.) ① $-4$ ② $-1$ ③ $2$ ④ $5$ ⑤ $8$ 더보기 정답 ⑤

$a>\sqrt{2}$ 인 실수 $a$ 에 대하여 함수 $f(x)$ 를 $$f(x)=-x^3+ax^2+2x$$ 라 하자. 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $\mathrm{O}(0, \; 0)$ 에서의 접선이 곡선 $y=f(x)$ 와 만나는 점 중 $\mathrm{O}$ 가 아닌 점을 $\mathrm{A}$ 라 하고, 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $\mathrm{A}$ 에서의 접선이 $x$ 축과 만나는 점을 $\mathrm{B}$ 라 하자. 점 $\mathrm{A}$ 가 선분 $\mathrm{OB}$ 를 지름으로 하는 원 위의 점일 때, $\overline{\mathrm{OA}}\times \overline{\mathrm{AB}}$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $25$

최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. 함수 $f(x)$ 에 대하여 $$f(k-1)f(k+1)

두 자연수 $m, \; n$ 에 대하여 함수 $f(x)=x(x-m)(x-n)$ 이 $$f(1)f(3)

두 함수 $$f(x)=-x^4-x^3+2x^2, \quad g(x)=\dfrac{1}{3}x^3 -2x^2+a$$ 가 있다. 모든 실수 $x$ 에 대하여 부등식 $$f(x) \le g(x)$$ 가 성립할 때, 실수 $a$ 의 최솟값은? ① $8$ ② $\dfrac{26}{3}$ ③ $\dfrac{28}{3}$ ④ $10$ ⑤ $\dfrac{32}{3}$ 더보기 정답 ⑤

삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)=(x+2)f(x)$$ 라 하자. 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(3, \; 2)$ 에서의 접선의 기울기가 $4$ 일 때, $g'(3)$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $22$ $g'(x)=f(x)+ (x+2)f'(x)$ 이고 $f(3)=2)$, $f'(3)=4$ 이므로 $g'(3)=f(3)+5 f'(3)=2+5\times 4 = 22$

삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 구간 $(0, \; \infty)$ 에서 정의된 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)=\begin{cases} x^3-8x^2+16x & (04) \end{cases}$$ 라 하자. 함수 $g(x)$ 가 구간 $(0, \; \infty)$ 에서 미분가능하고 다음 조건을 만족시킬 때, $g(10)=\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) (가) $g \left (\dfrac{21}{2} \right )=0$ (나) 점 $(-2, \; 0)$ 에서 곡선 $y=g(x)$ 에 그은, 기울기가 $0$ 이 아닌 접선이 오직 하나 존재한다. 더보기 정답 $29$

함수 $f(x)=x^3+ax^2+bx+1$ 은 $x=-1$ 에서 극대이고, $x=3$ 에서 극소이다. 함수 $f(x)$ 의 극댓값은? (단, $a, \; b$ 는 상수이다.) ① $0$ ② $3$ ③ $6$ ④ $9$ ⑤ $12$ 더보기 정답 ③

최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(-2, \; f(-2))$ 에서의 접선과 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(2, \; 3)$ 에서의 접선이 점 $(1, \; 3)$ 에서 만날 때, $f(0)$ 의 값은? ① $31$ ② $33$ ③ $35$ ④ $37$ ⑤ $39$ 더보기 정답 ③

두 실수 $a, \; b$ 에 대하여 함수 $$f(x) = \begin{cases} -\dfrac{1}{3}x^3-ax^2 -bx & (x