수악중독

이차함수 $f(x)$ 는 $x=-1$ 에서 극대이고, 삼차함수 $g(x)$ 는 이차항의 계수가 $0$ 이다. 함수 $$h(x)=\begin{cases} f(x) & (x \le 0) \\[10pt] g(x) & (x>0) \end{cases}$$ 이 실수 전체의 집합에서 미분가능하고 다음 조건을 만족시킬 때, $h'(-3)+h'(4)$ 의 값을 구하시오. (가) 방정식 $h(x)=h(0)$ 의 모든 실근의 합은 $1$ 이다.(나) 닫힌구간 $[-2, \; 3]$ 에서 함수 $h(x)$ 의 최댓값과 최솟값의 차는 $3+4\sqrt{3}$ 이다. 정답 $38$

함수 $$f(x)=x^3 -3px^2 + q$$ 가 다음 조건을 만족시키도록 하는 $25$ 이하의 두 자연수 $p, \; q$ 의 모든 순서쌍 $(p, \; q)$ 의 개수를 구하시오. (가) 함수 $|f(x)|$ 가 $x=a$ 에서 극대 또는 극소가 되도록 하는 모든 실수 $a$ 의 개수는 $5$ 이다. (나) 닫힌구간 $[-1, \; 1]$ 에서 함수 $|f(x)|$ 의 최댓값과 닫힌구간 $[-2, \; 2]$ 에서 함수 $|f(x)|$ 의 최댓값은 같다. 정답 $14$ 1), 2), 3), 4) 에 의하여 조건을 만족하는 $(p, \; q)$ 의 순서쌍의 개수는 14개

양의 실수 $t$ 와 최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $$g(t) = \dfrac{f(t)-f(0)}{t}$$ 이라 하자. 두 함수 $f(x)$ 와 $g(t)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.(가) 함수 $g(t)$ 의 최솟값은 $0$ 이다. (나) $x$ 에 대한 방정식 $f'(x)=g(a)$ 를 만족시키는 $x$ 의 값은 $a$ 와 $\dfrac{5}{3}$ 이다. (단, $a>\dfrac{5}{3}$ 인 상수이다.) 자연수 $m$ 에 대하여 집합 $A_m$ 을 $$A_m = \{x \; | \; f'(x)=g(m), \; 0

$0

$0$ 이 아닌 실수 $m$ 에 대하여 두 함수 $$ \begin{aligned}f(x)& = 2x^3 -8x, \\[15pt] g(x) &= \begin{cases} - \dfrac{47}{m}x+\dfrac{4}{m^3} &(x

최고차항의 계수가 $1$ 이고 $f(2)=3$ 인 삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $$g(x) = \begin{cases}\dfrac{ax-9}{x-1} & (x