수악중독

최고차항의 계수가 $1$ 인 이차함수 $f(x)$ 와 $3$ 보다 작은 실수 $a$ 에 대하여 함수 $g(x)=|(x-a)f(x)|$ 가 $x=3$ 에서만 미분가능하지 않다. 함수 $g(x)$ 의 극댓값이 $32$ 일 때, $f(4)$ 의 값은? ① $7$ ② $9$ ③ $11$ ④ $13$ ⑤ $15$ 더보기 정답 ①

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x)$ 와 역함수가 존재하는 삼차함수 $g(x)=x^3+ax^2+bx+c$ 가 다음 조건을 만족시킨다. 모든 실수 $x$ 에 대하여 $2f(x)=g(x)-g(-x)$ 이다. 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, $a, \; b, \; c$ 는 상수이다.) ㄱ. $a^2 \le 3b$ ㄴ. 방정식 $f'(x)=0$ 은 서로 다른 두 실근을 갖는다. ㄷ. 방정식 $f'(x)=0$ 이 실근을 가지면 $g'(1)=1$ 이다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 더보기 정답 ①

양수 $a$ 에 대하여 최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 와 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $$|x(x-2)|g(x)=x(x-2) \left ( |f(x)|-a \right )$$ $\quad$이다. (나) 함수 $g(x)$ 는 $x=0$ 과 $x=2$ 에서 미분가능하다. $g(3a)$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $108$

서로 다른 두 양수 $a, \; b$ 에 대하여 함수 $f(x)$ 를 $$f(x) = -\dfrac{ax^3+bx}{x^2+1}$$ 라 하자. 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f'(x) \ne 0$ 이고, 두 함수 $g(x)=f(x)-f^{-1}(x), \; h(x)=(g \circ f)(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $g(2)=h(0)$ (나) $g'(2)=-5h'(2)$ $4(b-a)$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $10$

함수 $f(x)=\dfrac{1}{2}x^3 - \dfrac{9}{2}x^2 + 10x$ 에 대하여 $x$ 에 대한 방정식 $$f(x)+|f(x)+x|=6x+k$$ 의 서로 다른 실근의 개수가 $4$ 가 되도록 하는 모든 정수 $k$ 의 값의 합을 구하시오. 더보기 정답 $21$

최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $$g(x)=f(x-3) \times \lim \limits_{h \to 0+} \dfrac{|f(x+h)|-|f(x-h)|}{h}$$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $f(5)$ 의 값을 구하시오. (가) 함수 $g(x)$ 는 실수 전체의 집합에서 연속이다. (나) 방정식 $g(x)=0$ 은 서로 다른 네 실근 $\alpha_1 , \; \alpha_2, \; \alpha_3, \; \alpha_4$ 를 갖고 $\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 + \alpha_4=7$ 이다. 더보기 정답 $108$

다항함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{f(x)-x^3}{x^2+1}=0$ (나) 함수 $|f(x)+f'(x)|$ 는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다. $f(1)$ 의 값은? ① $2$ ② $4$ ③ $6$ ④ $8$ ⑤ $10$ 더보기 정답 ①

최고차항의 계수가 $1$ 인 두 이차다항식 $P(x), \; Q(x)$ 에 대하여 두 함수 $f(x)=(x+4)P(x)$, $g(x)=(x-4)Q(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $f'(-4) \ne 0, \; f(4) \ne 0, \; g(-4) \ne 0$ (나) 방정식 $f(x)g(x)=0$ 의 서로 다른 모든 해를 크기 순으로 나열한 $-4, \; a_1, \; a_2, \; a_3, \; 4$ 는 등차수열을 이룬다. (다) $f'(a_i)=0$ 인 $i \in \{1, \; 2, \; 3\}$ 은 하나만 존재하고, 모든 $i \in \{1, \; 2, \; 3\}$에 대하여 $g'(a_i) \ne 0$ 이다. 두 곡선 $y=f(x)$와 $y=g(x)$ 가 서로 다른 두 점에서 만날 때..

자연수 $n$에 대하여 함수 $$f(x)=\left | x^2-4 \right | \left (x^2+n \right )$$ 이 $x=a$ 에서 극값을 갖는 $a$ 의 개수가 $4$ 이상일 때, $f(x)$ 의 모든 극값의 합이 최대가 되도록 하는 $n$ 의 값은? ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$ 더보기 정답 ③

일차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)=\displaystyle \int_0^x (x-2)f(s)ds$$ 라 하자. 실수 $t$ 에 대하여 직선 $y=tx$ 와 곡선 $y=g(x)$ 가 만나는 점의 개수를 $h(t)$ 라 할 때, 다음 조건을 만족시키는 모든 함수 $g(x)$ 에 대하여 $g(4)$ 의 값의 합을 구하시오. $g(k)=0$ 을 만족시키는 모든 실수 $k$ 에 대하여 함수 $h(t)$는 $t=-k$ 에서 불연속이다. 더보기 정답 $56$