수악중독

$x \ge \dfrac{1}{100}$ 인 실수 $x$ 에 대하여 $\log x$ 의 가수를 $f(x)$ 라 하자. 다음 조건을 만족시키는 두 실수 $a, \; b$ 의 순서쌍 $(a, \; b)$ 를 좌표평면에 나타낸 영역을 $R$ 라 하자. (가) $a10$ 이다.(나) 함수 $y=9f(x)$ 의 그래프와 직선 $y=ax+b$ 가 한 점에서만 만난다. 영역 $R$ 에 속하는 점 $(a, \;b)$ 에 대하여 $(a+20)^2+b^2$ 의 최솟값은 $100 \times \dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 정답 $222$

좌표평면에서 $2$ 이상의 자연수 $n$ 에 대하여 두 곡선 $y=3^x-n$, $y=\log_3(x+n)$ 으로 둘러싸인 영역의 내부 또는 그 경계에 포함되고 $x$ 좌표와 $y$ 좌표가 모두 자연수인 점의 개수가 $4$ 가 되도록 하는 자연수 $n$ 의 개수를 구하시오. 정답 $16$

그림과 같이 세 로그함수 $f(x)=k \log x$, $g(x)=k^2 \log x$, $h(x)=4k^2 \log x$ 의 그래프가 있다. 점 $\rm P(2, \;0)$ 을 지나고 $y$ 축에 평행한 직선이 두 곡선 $y=g(x), \; y=h(x)$ 와 만나는 점의 $y$ 좌표를 각각 $p ,\; q$ 라 하자. 직선 $y=p$ 와 곡선 $y=f(x)$ 가 만나는 점을 ${\rm Q}(a, \;p)$, 직선 $y=q$ 와 곡선 $y=g(x)$ 가 만나는 점을 ${\rm R}(b, \;q)$ 라 하자. 세 점 $\rm P, \;Q, \;R$ 가 한 직선 위에 있을 때, 두 실수 $a, \; b$ 의 곱 $ab$ 의 값을 구하시오. (단, ..

자연수 $n$ 에 대하여 그림과 같이 세 곡선 $y=\log _2 x +1$, $y=\log _2 x$, $y=\log _2 \left ( x-4^n \right )$ 이 직선 $y=n$ 과 만나는 세 점을 각각 ${\rm A}_n, \;{\rm B}_n, \; {\rm C}_n$ 이라 하자. 두 삼각형 $\rm A_{\it n} OB_{\it n} , \; B_{\it n}OC_{\it n}$ 의 넓이를 각각 $S_n,\; T_n$ 이라 할 때, $\dfrac{T_n}{S_n} = 64$ 를 만족시키는 $n$ 의 값을 구하시오. (단, $\rm O$ 는 원점이다.) 정답 $5$

$\rm A(3,\;-1),\; B(5,\;-1),\; C(5,\;2),\; D(3,\;2)$ 를 연결하여 만든 직사각형이 있다. 로그함수 $y= \log_a (x-1)-4$ 가 직사각형 $\rm ABCD$ 와 만나기 위한 $a$ 의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $N$ 이라 할 때, $\left ( \dfrac{N}{M} \right )^{12}$ 의 값을 구하시오. 정답 $64$

함수 $y=\log_2 4x$ 의 그래프 위의 두 점 $\rm A, \;B$ 와 함수 $y=\log_2 x$ 의 그래프 위의 점 $\rm C$ 에 대하여, 선분 $\rm AC$ 가 $y$ 축에 평행하고 삼각형 $\rm ABC$ 가 정삼각형일 때, 점 $\rm B$ 의 좌표는 $(p, \;q)$ 이다. $p^2 \times 2^q$ 의 값은? ① $6\sqrt{3}$ ② $9\sqrt{3}$ ③ $12\sqrt{3}$ ④ $15\sqrt{3}$ ⑤ $18\sqrt{3}$ 정답 ③

그림과 같이 좌표평면에서 곡선 $y=\log_a x$ 위의 점 ${\rm A} (2, \; \log_a 2)$ 를 지나고 $x$ 축에 평행한 직선이 곡선 $y=\log_b x$ 와 만나는 점을 $\rm B$, 점 $\rm B$ 를 지나고 $y$ 축에 평행한 직선이 곡선 $y=\log_a x$ 와 만나는 점을 $\rm C$ 라 하자. $\overline {\rm AB} = \overline{\rm BC}=2$ 일 때, $a^2+b^2$ 의 값을 구하시오. (단, \(1

그림은 두 곡선 $y=\log_3 x,\;y=f(x)$ 를 나타낸 것이다. 직선 $y=-\dfrac{2}{3}x+k$ 가 두 곡선 $y=\log_3 x,\; y=f(x)$ 에 의해 잘린 선분의 길이가 실수 $k$ 값에 관계없이 항상 $\sqrt{13}$ 이다. 곡선 $y=f(x)$ 가 $x$ 축, $y$ 축과 만나는 점의 좌표를 각각 $(\alpha, \;0),\;(0,\;\beta)$ 라 할 때, $\alpha+\beta$ 의 값을 기약분수로 나타내면 $\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. 정답 $10$

함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $-1 \leq x < 1$ 에서 $f(x)=|2x|$ 이다. (나) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(x+2)=f(x)$ 이다. 자연수 $n$ 에 대하여 함수 $y=f(x)$ 의 그래프와 함수 $y=\log_{2n} x$ 의 그래프가 만나는 점의 개수를 $a_n$ 이라 하자. $\sum \limits_{n=1}^{7} a_n$ 의 값을 구하시오. 정답 $553$

그림은 함수 $y=\log _3x+24$ 의 그래프와 직선 $y=x$ 를 나타낸 것이다. 부등식 \[x