수악중독

극대 극소와 미분_난이도 중하 (2025년 11월 수능 9번)

수악중독 — Tue, 18 Nov 2025 07:25:38 +0900

양수 $a$에 대하여 함수 $f(x)$를 $$f(x)=x^3+3ax^2-9a^2x+4$$라 하자. 직선 $y=5$이 곡선 $y=f(x)$에 접할 때, $f(2)$의 값은?

① $11$ ② $12$ ③ $13$ ④ $14$ ⑤ $15$

정답 ④

지수함수의 그래프_난이도 하 (2025년 11월 수능 10번)

수악중독 — Sun, 16 Nov 2025 01:08:13 +0900

상수 $a$ $(a > 1)$에 대하여 곡선 $y = a^x - 2$ 위의 점 중 제$1$사분면에 있는 점 $\mathrm{A}$를 지나고 $y$축에 평행한 직선이 $x$축과 만나는 점을 $\mathrm{B}$, 곡선 $y = a^x - 2$의 점근선과 만나는 점을 $\mathrm{C}$라 하자. $\overline{\mathrm{AB}} = \overline{\mathrm{BC}}$이고, 삼각형 $\mathrm{AOC}$의 넓이가 $8$일 때, $a \times \overline{\mathrm{OB}}$의 값은? (단, $\mathrm{O}$는 원점이다.)

① $2^{\frac{13}{6}}$ ② $2^{\frac{7}{3}}$ ③ $2^{\frac{5}{2}}$ ④ $2^{\frac{8}{3}}$ ⑤ $2^{\frac{17}{6}}$

정답 ③

속도, 거리와 적분_난이도 하 (2025년 11월 수능 11번)

수악중독 — Sun, 16 Nov 2025 01:03:16 +0900

시각 $t=0$일 때 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$가 있다. 실수 $k$에 대하여 시각이 $t$ $(t \ge 0)$일 때 점 $\mathrm{P}$의 속도 $v(t)$가 $$v(t) = t^2 - kt + 4$$이다. ⟨보기⟩에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

ㄱ. $k=0$이면, 시각 $t=1$일 때 점 $\mathrm{P}$의 위치는 $\dfrac{13}{3}$이다.
ㄴ. $k=3$이면, 출발한 후 점 $\mathrm{P}$의 운동 방향이 한 번 바뀐다.
ㄷ. $k=5$이면, 시각 $t=0$에서 $t=2$까지 점 $\mathrm{P}$가 움직인 거리는 $3$이다.

① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 ③

등비수열의 일반항_난이도 하 (2025년 11월 수능 12번)

수악중독 — Sun, 16 Nov 2025 00:59:58 +0900

등비수열 $\{a_n\}$이 $$2(a_1 + a_4 + a_7) = a_4 + a_7 + a_{10} = 6$$을 만족시킬 때, $a_{10}$의 값은?

① $\dfrac{22}{7}$ ② $\dfrac{24}{7}$ ③ $\dfrac{26}{7}$ ④ $\dfrac{30}{7}$ ⑤ $\dfrac{32}{7}$

정답 ②

접선의 방정식_곡선 위의 한 점이 주어지는 경우_난이도 중하 (2025년 11월 수능 13번)

수악중독 — Sun, 16 Nov 2025 00:57:39 +0900

함수 $f(x) = x^2 - 4x - 3$에 대하여 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(1, \;-6)$에서의 접선을 $l$이라 하고, 함수 $g(x) = \left (x^3 - 2x \right )f(x)$에 대하여 곡선 $y=g(x)$ 위의 점 $(1, \;6)$에서의 접선을 $m$이라 하자. 두 직선 $l, \;m$과 $y$축으로 둘러싸인 도형의 넓이는?

① $21$ ② $28$ ③ $35$ ④ $42$ ⑤ $49$

정답 ⑤

사인법칙&코사인법칙_난이도 중 (2025년 11월 수능 14번)

수악중독 — Sun, 16 Nov 2025 00:54:31 +0900

그림과 같이 $\overline{\mathrm{AB}}=3$, $\overline{\mathrm{BC}}=4$이고 $\angle \mathrm{B} = \dfrac{\pi}{2}$인 직각삼각형 $\mathrm{ABC}$가 있다. 선분 $\mathrm{AB}$를 $2:1$로 내분하는 점을 $\mathrm{D}$, 점 $\mathrm{A}$를 중심으로 하고 반지름의 길이가 $\overline{\mathrm{AD}}$인 원이 선분 $\mathrm{AC}$와 만나는 점을 $\mathrm{E}$, 직선 $\mathrm{AB}$가 이 원과 만나는 점 중 $\mathrm{D}$가 아닌 점을 $\mathrm{F}$라 하고, 호 $\mathrm{EF}$ 위의 점 $\mathrm{G}$를 $\overline{\mathrm{CG}} = 2\sqrt{6}$이 되도록 잡는다. 세 점 $\mathrm{C,\; E, \; G}$를 지나는 원 위의 점 $\mathrm{H}$가 $\angle \mathrm{HCG}=\angle \mathrm{BAC}$를만족시킬 때, 선분 $\overline{\mathrm{GH}}$의 길이는?

① $\dfrac{6\sqrt{15}}{8}$ ② $\dfrac{38\sqrt{10}}{25}$ ③ $\dfrac{14\sqrt{3}}{5}$ ④ $\dfrac{32\sqrt{15}}{25}$ ⑤ $\dfrac{8\sqrt{10}}{5}$

정답 ④

극대 극소와 미분_난이도 중상 (2025년 11월 수능 15번)

수악중독 — Sat, 15 Nov 2025 00:35:47 +0900

함수 $f(x)$가 $$f(x)=\begin{cases} -x^2 & (x<0) \\ x^2-x & (x \ge 0)\end{cases}$$이고, 양수 $a$에 대하여 함수 $g(x)$를 $$g(x)=\begin{cases}ax+a & (x<-1) \\ 0 & (-1 \le x<1) \\ ax-a & (x \ge 1)\end{cases}$$이라 하자. 함수 $h(x) = \displaystyle \int_0^x (g(t)-f(t))\,dt$가 오직 하나의 극값을 갖도록 하는 $a$의 최댓값을 $k$라 하자. $a=k$일 때, $k+h(3)$의 값은?

① $\dfrac{9}{2}$ ② $\dfrac{11}{2}$ ③ $\dfrac{13}{2}$ ④ $\dfrac{15}{2}$ ⑤ $\dfrac{17}{2}$

정답 ④

여러 가지 수열의 합_난이도 중 (2025년 11월 수능 20번)

수악중독 — Sat, 15 Nov 2025 00:26:04 +0900

수열 $\{a_n\}$ 이 다음 조건을 만족시킨다.

- $a_1 = 7$
- $2$ 이상의 자연수 $n$ 에 대하여 $$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k = \frac{2}{3} a_n + \frac{1}{6} n^2 - \frac{1}{6} n + 10$$이다.

다음은 $\displaystyle \sum_{k=1}^{12} a_k + \sum_{k=1}^5 a_{2k+1}$ 의 값을 구하는 과정이다.

$2$ 이상의 자연수 $n$ 에 대하여 $\displaystyle a_{n+1} = \sum_{k=1}^{n+1} a_k - \sum_{k=1}^n a_k$ 이므로$$a_{n+1} = \frac{2}{3} (a_{n+1} - a_n) + \boxed{\text{ (가) }}$$이고, 이 식을 정리하면$$2a_n + a_{n+1} = 3 \times \boxed{\text{ (가) }} \quad \quad \cdots \cdots ㉠$$이다.$$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k = \frac{2}{3} a_n + \frac{1}{6} n^2 - \frac{1}{6} n + 10 \quad (n \ge 2)$$에서 양변에 $n = 2$ 를 대입하면$$a_2 = \boxed{\text{ (나) }} \quad \quad \cdots \cdots ㉡$$이다. ㉠과 ㉡에 의하여 $$\begin{aligned}\displaystyle \sum_{k=1}^{12} a_k + \sum_{k=1}^5 a_{2k+1} &= a_1 + a_2 + \sum_{k=1}^5 (2a_{2k+1} + a_{2k+2}) \\[8pt] &=\boxed{\text{ (다) }}\end{aligned}$$ 이다.

위의 (가)에 알맞은 식을 $f(n)$이라 하고, (나), (다)에 알맞은 수를 각각 $p, \;q$라 할 때, $\dfrac{p \times q}{f(12)}$ 의 값을 구하시오.

정답 $130$

0/0꼴의 극한&좌극한과 우극한&삼차함수 그래프 개형_난이도 상 (2025년 11월 수능 21번)

수악중독 — Sat, 15 Nov 2025 00:15:37 +0900

최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 $f(x)$와 실수 $t$에 대하여 함수 $$g(x)=\begin{cases} -f(x) & (x<t) \\ f(x) & (x \ge t) \end{cases}$$는 실수 전체의 집합에서 연속이고 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 $a$에 대하여 $\lim \limits_{x \to a} \dfrac{g(x)}{x(x-2)}$의 값이 존재한다.

(나) $\lim \limits_{x \to m+} \dfrac{g(x)}{x(x-2)}$의 값이 음수가 되도록 하는 자연수 $m$의 집합은 $\left \{g(-1), \; -\dfrac{7}{2}g(1) \right \}$이다.

$g(-5)$의 값을 구하시오., (단, $g(-1) \ne -\dfrac{7}{2}g(1)$)

정답 $65$

지수함수와 로그함수의 그래프&역함수 관계_난이도 상 (2025녀 11월 수능 22번)

수악중독 — Sat, 15 Nov 2025 00:10:34 +0900

곡선 $y=\log_{16}(8x+2)$ 위의 점 $\mathrm{A}(a, \; b)$와 곡선 $y=4^{x-1}-\dfrac{1}{2}$ 위의 점 $\mathrm{B}$가 제$1$사분면에 있다. 점 $\mathrm{A}$를 직선 $y=x$에 대하여 대칭이동한 점이 직선 $\mathrm{OB}$ 위에 있고 선분 $\mathrm{AB}$의 중점의 좌표가 $\left (\dfrac{77}{8}, \; \dfrac{133}{8} \right )$일 때, $a \times b = \dfrac{q}{p}$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $\mathrm{O}$는 원점이고, $p$ 와 $q$는 서로소인 자연수이다.)

정답 $457$

조건부확률_난이도 중상 (2025년 11월 수능 확통 28번)

수악중독 — Sat, 15 Nov 2025 00:06:43 +0900

$16$개의 공과 $1$부터 $6$까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 여섯 개의 빈 상자가 있다. 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다.

주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 $\mathrm{k}$일 때,
$\mathrm{k}$가 홀수이면 $1, 3, 5$가 적힌 상자에 공을 각각 $1$개씩 넣고,
$\mathrm{k}$가 짝수이면 $\mathrm{k}$의 약수가 적힌 상자에 공을 각각 $1$개씩 넣는다.

이 시행을 $4$번 반복한 후 여섯 개의 상자에 들어 있는 모든 공의 개수의 합이 홀수일 때, $3$이 적힌 상자에 들어 있는 공의 개수가 $2$가 적힌 상자에 들어 있는 공의 개수보다 $1$개 더 많을 확률은?

① $\dfrac{1}{8}$ ② $\dfrac{3}{16}$ ③ $\dfrac{1}{4}$ ④ $\dfrac{5}{16}$ ⑤ $\dfrac{3}{7}$

정답 ②

이항분포의 정규분로의 근사_난이도 중상 (2025년 11월 수능 확통 29번)

수악중독 — Fri, 14 Nov 2025 23:21:18 +0900

$6$ 이하의 자연수 $a$에 대하여 한 개의 주사위와 한 개의 동전을 사용하여 다음 시행을 한다.

주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 $a$보다 작거나 같으면 동전을 $8$번 던져 앞면이 나온 횟수를 기록하고,
나온 눈의 수가 $a$보다 크면 동전을 $3$번 던져 앞면이 나온 횟수를 기록한다.

이 시행을 $19200$번 반복하여 기록한 수가 $6$인 횟수를 확률변수 $X$라 하자.
$\mathrm{E}(X) = 4800$일 때, $\mathrm{P}(X \le 4800 + 30a)$의 값을 아래 표준정규분포표를 이용하여 구한 값이 $k$이다.
$1000 \times k$의 값을 구하시오.

정답 $977$

중복조합_난이도 상 (2025년 11월 수능 확통 30번)

수악중독 — Fri, 14 Nov 2025 23:18:17 +0900

비어 있는 주머니 $10$개가 일렬로 놓여 있고, 공 $8$개가 있다. 각 주머니에 들어 있는 공의 개수가 $2$ 이하가 되도록 공을 주머니에 남김없이 나누어 넣을 때, 다음 조건을 만족시키는 경우의 수를 구하시오. (단, 공끼리는 서로 구별하지 않는다.)

(가) 들어 있는 공의 개수가 $1$인 주머니는 $3$개 또는 $9$개이다.
(나) 들어 있는 공의 개수가 $2$인 주머니와 이웃한 주머니에는 공이 들어 있지 않다.

정답 $262$

정사영의 넓이_난이도 중 (2025년 11월 수능 기하 28번)

수악중독 — Fri, 14 Nov 2025 23:15:56 +0900

그림과 같이 $\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{CD}}=4$, $\overline{\mathrm{BC}} = \overline{\mathrm{BD}} = 2\sqrt{5}$인 사면체 $\mathrm{ABCD}$가 있고, 점 $\mathrm{A}$에서 직선 $\mathrm{CD}$에 내린 수선의 발 $\mathrm{H}$에 대하여 두 평면 $\mathrm{ABH}$와 $\mathrm{BCD}$는 서로 수직이고 $\overline{\mathrm{AH}}=4$이다. 삼각형 $\mathrm{ABH}$의 무게중심을 $\mathrm{G}$라 하고, 점 $\mathrm{G}$를 중심으로 하고 평면 $\mathrm{ACD}$에 접하는 구를 $S$라 하자. $\angle \mathrm{APG} = \dfrac{\pi}{2}$인 구 $S$ 위의 모든 점 $\mathrm{P}$가 나타내는 도형을 $T$라 할 때, 도형 $T$의 평면 $\mathrm{ABC}$ 위로의 정사영의 넓이는?

① $\dfrac{\pi}{7}$ ② $\dfrac{\pi}{6}$ ③ $\dfrac{\pi}{5}$ ④ $\dfrac{\pi}{4}$ ⑤ $\dfrac{\pi}{3}$

정답 ④

포물선과 타원의 정의&방정식_난이도 중 (2025년 11월 수능 기하 29번)

수악중독 — Fri, 14 Nov 2025 03:00:36 +0900

그림과 같이 초점이 $\mathrm{F}(p, 0)$ ($p > 0$)이고 준선이 $x = -p$인 포물선 위의 점 중 제$1$사분면에 있는 점 $\mathrm{A}$에서 포물선의 준선에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하고, 두 초점이 $x$축 위에 있고 세 점 $\mathrm{F}$, $\mathrm{A}$, $\mathrm{H}$를 지나는 타원의 $x$좌표가 양수인 초점을 $\mathrm{B}$라 하자. 삼각형 $\mathrm{AHB}$의 둘레의 길이가 $p + 27$, 넓이가 $2p + 12$일 때, 선분 $\mathrm{HF}$의 길이를 $k$라 하자. $k^{2}$의 값을 구하시오.

정답 $360$

벡터 내적의 기하학적 의미_난이도 상 (2025년 11월 수능 기하 30번)

수악중독 — Fri, 14 Nov 2025 01:41:30 +0900

좌표평면에서 길이가 $10\sqrt{2}$인 선분 $\mathrm{AB}$를 지름으로 하는 원 위의 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$가 $$\left ( \overrightarrow{\mathrm{PA}}+ \overrightarrow{\mathrm{PB}} \right ) \cdot \left ( \overrightarrow{\mathrm{PQ}}+ \overrightarrow{\mathrm{PB}} \right )=2 \left | \overrightarrow{\mathrm{PQ}} \right | ^2$$을 만족시킨다. $\left| \overrightarrow{\mathrm{PB}} \right| = 14$일 때, $\left| \overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{QB}} \right| = \dfrac{q}{p}$이다. $p + q$의 값을 구하시오. (단, $\left| \overrightarrow{\mathrm{QB}} \right| > 0$이고, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.)

정답 $211$

역함수의 적분&그래프의 개형&접선의 방정식_난이도 중상 (2025년 11월 수능 28번)

수악중독 — Thu, 13 Nov 2025 23:33:16 +0900

함수 $$f(x)=\dfrac{1}{2}x^2 − x + \ln⁡(1+x)$$와 양수 $t$에 대하여 점 $(s, \;f(s))$ ($s > 0$)에서 $y$축에 내린 수선의 발과 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(s, \;f(s))$에서의 접선이 $y$축과 만나는 점 사이의 거리가 $t$가 되도록 하는 $s$의 값을 $g(t)$라 하자. $\displaystyle \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{27}{4}} g(t) dt$의 값은?

① $\dfrac{161}{12} + \ln 3$ ② $\dfrac{40}{3} + \ln 3$ ③ $\dfrac{53}{4} + \ln 2$ ④ $\dfrac{79}{6} + \ln 2$ ⑤ $\dfrac{157}{12} + \ln 2$

정답 ⑤

급수 & 등비급수_난이도 중 (2025년 11월 수능 미적분 29번)

수악중독 — Thu, 13 Nov 2025 22:56:47 +0900

첫째항과 공차가 같은 등차수열 ${a_{n}}$과 등비수열 ${b_{n}}$이 다음 조건을 만족시킨다.

어떤 자연수 $k$에 대하여 $$b_{k+i}=\dfrac{1}{a_i}−1 \quad (i=1, \;2, \;3)$$ 이다.

부등식 $$0< \sum \limits_{n=1}^\infty \left (b_n -\dfrac{1}{a_n a_{n+1}} \right ) < 30$$이 성립할 때, $a_{2} \times \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{2n} = \dfrac{q}{p}$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $a_{1} \ne 0$이고, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.)

정답 $97$

여러 가지 함수의 미분법 & 함수의 연속과 불연속 & 역함수_난이도 상 (2025년 11월 수능 미적분 30번)

수악중독 — Thu, 13 Nov 2025 22:27:33 +0900

실수 전체의 집합에서 증가하는 연속함수 $f(x)$의 역함수 $f^{-1}(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $|x| \le 1$일 때, $4 \times \left( f^{-1}(x) \right)^{2} = x^{2} (x^{2} - 5)^{3}$이다.
(나) $|x| > 1$일 때, $\left| f^{-1}(x) \right| = e^{|x|-1} + 1$이다.

실수 $m$에 대하여 기울기가 $m$이고 점 $(1, 0)$을 지나는 직선이 곡선 $y = f(x)$와 만나는 점의 개수를 $g(m)$이라 하자. 함수 $g(m)$이 $m = a$, $m = b$ ($a < b$)에서 불연속일 때, $g(a) \times \left ( \lim \limits_{m \to a+} g(m) \right ) + g(b) \times \left (\dfrac{\ln b}{b} \right )^2$의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$)

정답 $11$

기하 3. 벡터

수악중독 — Sat, 8 Nov 2025 21:25:14 +0900

개념정리

1. 벡터

2. 서로 같은 벡터

3. 벡터의 덧셈

4. 벡터의 덧셈에 대한 연산법칙

5. 벡터의 뺄셈

6. 벡터의 실수배

7. 벡터의 실수배에 대한 연산법칙

8. 벡터의 평행

9. 위치벡터

10. 평면벡터의 성분

11. 공간벡터의 성분

12. 벡터의 성분에 의한 연산

13. 벡터의 내적

14. 성분으로 나타낸 벡터의 내적

15. 벡터의 내적의 성질

16. 두 벡터가 이루는 각의 크기

17. 벡터의 수직조건과 평행조건

18. 좌표평면에서 한 점과 방향벡터가 주어진 직선의 방정식

19. 좌표공간에서 한 점과 방향벡터가 주어진 직선의 방정식

20. 두 점을 지나는 직선의 방정식

21. 두 직선이 이루는 각의 크기

22. 법선벡터를 이용한 직선의 방정식

23. 평면의 방정식

24. 일차방정식 $ax+by+cz+d=0$과 평면

25. 평면과 평면의 교선 & 직선과 평면의 교점

26. 두 평면이 이루는 각의 크기

27. 두 평면의 수직 조건과 평행 조건

28. 평면과 직선이 이루는 각의 크기

29. 좌표공간에서 점과 평면 사이의 거리

30. 벡터를 이용한 구의 방정식

31. 두 점을 지름의 양 끝 점으로 하는 구의 방정식

기하 2. 공간도형과 공간좌표

수악중독 — Sun, 2 Nov 2025 08:34:43 +0900

개념정리

1. 평면의 결정 조건

2. 공간에서 두 직선의 위치 관계

3. 직선과 평면의 위치 관계

4. 평면과 평면의 위치 관계

5. 직선과 평면의 평행에 대한 성질

6. 두 직선이 이루는 각

7. 직선과 평면의 수직

8. 삼수선의 정리

9. 이면각

10. 정사영

11. 직선과 평면이 이루는 각

12. 정사영의 길이

13. 정사영의 넓이

14. 공간에서의 점의 좌표

15. 좌표공간에서 두 점 사이의 거리

16. 좌표공간에서 선분의 내분점

17. 구의 방정식

기하 1. 이차곡선

수악중독 — Tue, 28 Oct 2025 07:32:28 +0900

개념정리

1. 포물선의 정의

2. 포물선의 방정식

3. 포물선의 평행이동

4. 포물선과 직선의 위치 관계

5. 포물선의 접선

6. 타원의 정의

7. 타원의 방정식

8. 타원의 평행이동

9. 타원과 직선의 위치 관계

10. 타원의 접선

11. 쌍곡선의 정의

12. 쌍곡선의 방정식

13. 쌍곡선의 점근선

14. 쌍곡선의 평행이동

15. 쌍곡선과 직선의 위치 관계

16. 싸옥선의 접선

17. 이차곡선

대칭이동과 선분의 길이의 합의 최솟값_난이도 중하 (2025년 10월 고1 14번)

수악중독 — Fri, 24 Oct 2025 06:27:58 +0900

좌표평면 위에 두 점 $\mathrm{A}(-3,\; 2)$, $\mathrm{B}(2, \;6)$이 있다. $\overline{\mathrm{PQ}}=1$인 $x$축 위의 두 점 $\mathrm{P, \;Q}$에 대하여 $\overline{\mathrm{AP}} + \overline{\mathrm{QB}}$의 최솟값은?
(단, 점 $\mathrm{P}$의 $x$좌표는 점 $\mathrm{Q}$의 $x$좌표보다 작다.)

① $2\sqrt{17}$ ② $6\sqrt{2}$ ③ $2\sqrt{19}$ ④ $4\sqrt{5}$ ⑤ $2\sqrt{21}$

정답 ④

행렬의 곱셈_난이도 중하 (2025년 10월 고1 15번)

수악중독 — Fri, 24 Oct 2025 06:21:24 +0900

세 이차정사각행렬 $A=\begin{pmatrix}0 & 0 \\6 & 0\end{pmatrix}$, $B$, $C$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $AB = CA = O$
(나) 행렬 $B$의 모든 성분의 합이 $3$이고, 행렬 $C$의 $(1,\;1)$ 성분과 $(2,\;1)$ 성분이 같다.

$BC = A$일 때, 행렬 $C$의 모든 성분의 합은? (단, $O$는 영행렬이다.)

① $3$ ② $4$ ③ $5$ ④ $6$ ⑤ $7$

정답 ②

순열과 조합_이웃하면 안되는 경우_난이도 중 (2025년 10월 고1 16번)

수악중독 — Fri, 24 Oct 2025 06:16:54 +0900

$1$학년 학생 $3$명, $2$학년 학생 $2$명, $3$학년 학생 $1$명이 있다. 이 $6$명의 학생 중에서 $5$명의 학생을 선택하고 이 $5$명의 학생이 모두 한 번씩 발표하도록 순서를 정하려고 할 때, $1$학년 학생끼리는 연속해서 발표하지 않도록 순서를 정하는 경우의 수는? (단, 발표는 한 명씩 한다.)

① $228$ ② $234$ ③ $240$ ④ $246$ ⑤ $252$

정답 ⑤

이차함수의 최대와 최소_난이도 중 (2025년 10월 고1 17번)

수악중독 — Fri, 24 Oct 2025 06:12:52 +0900

양수 $a$에 대하여 $0 \le x \le a$에서 이차함수 $f(x) = -2x^2 + 16x - 7$의 최댓값과 최솟값의 합이 $0$이 되도록 하는
모든 $a$의 값의 합은?

① $\dfrac{17}{2}$ ② $9$ ③ $\dfrac{19}{2}$ ④ $10$ ⑤ $\dfrac{21}{2}$

정답 ④

이차방정식의 판별식&고차식의 인수분해_난이도 중 (2025년 10월 고1 18번)

수악중독 — Fri, 24 Oct 2025 06:11:01 +0900

$x$에 대한 다항식 $x^3 + (2a+3)x^2 + (3a+5)x + a + 3$이 $(x+b)(x+c)^2$로 인수분해되도록 하는 세 실수 $a, \;b, \;c$에 대하여, $a+b+c$의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$이라 할 때, $M+m$의 값은?

① $5$ ② $6$ ③ $7$ ④ $8$ ⑤ $9$

정답 ②

나머지 정리_난이도 중 (2025년 10월 고1 19번)

수악중독 — Thu, 23 Oct 2025 10:32:12 +0900

최고차항의 계수가 $1$인 삼차다항식 $f(x)$와 모든 항의 계수가 실수인 두 다항식 $P(x), \;Q(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $f(x)$를 $P(x)$로 나누었을 때의 몫은 $Q(x)$이고, 나머지는 $P(x) + \{Q(x)\}^2$이다.
(나) $f(x)$를 $Q(x)$로 나누었을 때의 몫은 $P(x)$이고, 나머지는 $P(x) + \{Q(x)\}^2$이다.

$P(0) = -2$, $Q(0) = 1$일 때, $f(2)$의 값은?

① $-3$ ② $-2$ ③ $-1$ ④ $0$ ⑤ $1$

정답 ⑤

내분점&두 점 사이의 거리& 직선의 방정식_난이도 중 (2025년 10월 고1 20번)

수악중독 — Thu, 23 Oct 2025 10:29:33 +0900

$0$이 아닌 실수 $a$에 대하여 좌표평면 위의 서로 다른 세 점 $\mathrm{A}(2a,\; 0)$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$가 다음 조건을 만족시킨다.

◦ 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 무게중심의 좌표는 $(0, \;2)$이다.
◦ $\overline{\mathrm{AB}} = \overline{\mathrm{AC}}$

다음은 $\overline{\mathrm{BC}} = 2\sqrt{a^2 + 1}$일 때, 점 $\mathrm{B}$의 $x$좌표와 $y$좌표의 합을 구하는 과정이다.
(단, 점 $\mathrm{B}$의 $x$좌표는 점 $\mathrm{C}$의 $x$좌표보다 크다.)

선분 $\mathrm{BC}$의 중점을 $\mathrm{M}(b, \; c)$, 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 무게중심을 $\mathrm{G}$라고 하면 $\mathrm{G}(0, \;2)$는 선분 $\mathrm{AM}$을 $2:1$로 내분하는 점이므로 $b = -a$, $c = \boxed{\text{ (가) }}$이다.

$\overline{\mathrm{AB}} = \overline{\mathrm{AC}}$이고 직선 $\mathrm{AM}$의 기울기가 $-\dfrac{1}{a}$이므로 직선 $\mathrm{BC}$의 방정식은 $$y = \boxed{\text{ (나) }} \times \{x -(- a)\} + \boxed{\text{ (가) }}$$ 이다.
점 $\mathrm{B}$의 $x$좌표를 $k$라 하면 점 $\mathrm{B}$의 $y$좌표는 $\boxed{\text{ (나) }} \times (k + a) + \boxed{\text{ (가) }}$이다.
$\overline{\mathrm{BM}} = \dfrac{1}{2}\overline{\mathrm{BC}}$이고 점 $\mathrm{B}$의 $x$좌표가 점 $\mathrm{C}$의 $x$좌표보다 크므로 $k = \boxed{\text{ (다) }}$이다.
따라서 점 $\mathrm{B}$의 $x$좌표와 $y$좌표의 합은 $\boxed{\text{ (라) }}$이다.

위의 (가), (라)에 알맞은 수를 각각 $p, \;q$라 하고, (나), (다)에 알맞은 식을 각각 $f(a), \;g(a)$라 할 때, $f(p) \times g(q)$의 값은?

① $-10$ ② $-\dfrac{19}{2}$ ③ $-9$ ④ $-\dfrac{17}{2}$ ⑤ $-8$

정답 ③

점과 도형의 대칭이동 & 점과 직선 사이의 거리_난이도 중상 (2025년 10월 고1 21번)

수악중독 — Thu, 23 Oct 2025 10:17:26 +0900

좌표평면 위의 제$1$사분면에 있는 점 $\mathrm{A}$를 중심으로 하고 원점 $\mathrm{O}$를 지나는 원 $C_1$이 있다. 원 $C_1$을 원점 $\mathrm{O}$에 대하여 대칭이동한 원을 $C_2$라 할 때, 두 원 $C_1$, $C_2$가 다음 조건을 만족시킨다.

삼각형 $\mathrm{OPQ}$의 외접원의 중심이 선분 $\mathrm{PQ}$ 위에 있도록 하는 원 $C_1$ 위의 점 $\mathrm{P}$와 원 $C_2$ 위의 점 $\mathrm{Q}$에 대하여 $\overline{\mathrm{PQ}}=6$이다.

원 $C_2$가 $x$축과 만나는 점 중 $\mathrm{O}$가 아닌 점을 $\mathrm{B}$라 할 때, 원 $C_2$ 위의 점 $\mathrm{B}$에서의 접선을 $l$이라 하자. 직선 $l$의 기울기가 $\dfrac{1}{2}$일 때, 점 $\mathrm{A}$와 직선 $l$ 사이의 거리는?

① $\dfrac{3}{5}$ ② $\dfrac{2}{3}$ ③ $\dfrac{11}{15}$ ④ $\dfrac{4}{5}$ ⑤ $\dfrac{13}{15}$

정답 ①

이차방정식의 판별식&복이차방정식_난이도 중하 (2025년 10월 고1 26번)

수악중독 — Thu, 23 Oct 2025 10:10:58 +0900

$x$에 대한 사차방정식 $\left (2x^2 + kx \right )^2 + 10\left (2x^2 + kx \right ) + 16 = 0$의 서로 다른 실근의 개수가 $2$가 되도록 하는 모든 자연수 $k$의 값의 합을 구하시오.

정답 $18$

이차방정식의 판별식과 근과 계수와의 관계_난이도 중 (2025년 10월 고1 27번)

수악중독 — Thu, 23 Oct 2025 10:08:36 +0900

상수 $k$에 대하여 $\mathrm{x}$에 대한 이차방정식 $x^2 + kx - \dfrac{1}{2}k^2 + 3k = 0$이 서로 다른 두 실근 $\alpha, \; \beta$를 갖는다. $\alpha^2 - k\beta = 12$일 때, $\alpha^2 + \beta^2$의 값을 구하시오.

정답 $20$

원과 직선의 위치 관계_직선이 원에 접할 조건_난이도 중 (2025년 10월 고1 28번)

수악중독 — Wed, 22 Oct 2025 00:19:04 +0900

원 $O$가 $x$축과 두 점 $\mathrm{A,\; B}$에서 만나고, $y$축과 두 점 $\mathrm{C, \; D}$에서 만난다. 네 점 $\mathrm{A, \;B, \; C, \; D}$와 원 $O$가 다음 조건을 만족시킬 때, 사각형 $\mathrm{ACBD}$의 넓이를 구하시오. (단, 점 $\mathrm{A}$의 $x$좌표는 점 $\mathrm{B}$의 $x$좌표보다 작고, 점 $\mathrm{C}$의 $y$좌표는 점 $\mathrm{D}$의 $y$좌표보다 작다.)

(가) 선분 $\mathrm{AB}$를 $1:4$로 내분하는 점은 선분 $\mathrm{CD}$의 중점이다.
(나) 원 $O$가 직선 $4x - 3y + 13 = 0$에 접한다.

정답 $40$

곱셈공식&곱셈공식의 변형_난이도 중 (2025년 10월 고1 29번)

수악중독 — Wed, 22 Oct 2025 00:14:49 +0900

그림과 같이 정사각형 $\mathrm{ABCD}$를 밑면으로 하는 직육면체 $\mathrm{ABCD-EFGH}$가 있다. 선분 $\mathrm{AD}$ 위의 점 $\mathrm{p}P$와 선분 $\mathrm{BC}$ 위의 점 $\mathrm{Q}$를 $\overline{\mathrm{AP}} = \overline{\mathrm{BQ}} = \overline{\mathrm{BF}}$가 되도록 잡고, 점 $\mathrm{P}$에서 선분 $\mathrm{EH}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{R}$, 점 $\mathrm{Q}$에서 선분 $\mathrm{FG}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{S}$라 하자. 직육면체 $\mathrm{ABCD-EFGH}$의 부피를 $V_1$, 직육면체 $\mathrm{ABQP-EFSR}$의 부피를 $V_2$라 하자. $$\left (\overline{\mathrm{AB}} +\overline{\mathrm{BF}} \right ) \times \overline{\mathrm{SD}}^2 = \dfrac{35}{4}, \quad V_1 + V_2 = \dfrac{15}{4}$$ 일 때, $\left (\overline{\mathrm{AB}} + \overline{\mathrm{BF}} \right )^3 = \dfrac{q}{p}$ 이다. $p + q$의 값을 구하시오.
(단, $\overline{\mathrm{AB}} > \overline{\mathrm{BF}}$이고, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.)

정답

이차방정식과 이차함수의 그래프_난이도 상 (2025년 10월 고1 30번)

수악중독 — Wed, 22 Oct 2025 00:08:30 +0900

두 상수 $p\; (p>0)$, $q$에 대하여 이차함수 $f(x) = \dfrac{1}{2}(x - p)^2 + q$가 있다.
함수 $f(x)$와 양수 $m$에 대하여 함수 $g(x)$를 $$g(x) = -f(x - m)$$ 이라 할 때, 방정식 $f(x) = g(x)$가 서로 다른 두 실근 $\alpha, \; \beta \; (\alpha < \beta)$를 갖는다. 함수 $h(x)$를 $$h(x) =\begin{cases} f(x) & (x \le \alpha \text{ 또는 } x \ge \beta) \\ g(x) & (\alpha < x < \beta)\end{cases}$$ 라 할 때, 함수 $h(x)$는 다음 조건을 만족시킨다.

$\mathrm{x}$에 대한 방정식 $h(x) = t$의 서로 다른 실근의 개수가 $2$ 이상이면서 서로 다른 모든 실근의 합이 $4p + 2m$이 되도록 하는 모든 실수 $t$의 값의 범위는 $g(p) < t < 5$이다.

$f(m) + g(m) = -4$일 때, $m \times (p - q)$의 값을 구하시오.

정답 $16$

수열의 합과 일반항과의 관계_난이도 중하 (2025년 10월 고2 14번)

수악중독 — Wed, 22 Oct 2025 00:03:55 +0900

수열 $\lbrace a_n \rbrace$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$이라 하자.
$S_n = \dfrac{1}{n}$ 일 때, $a_1 + \displaystyle\sum_{k=2}^{7} \dfrac{1}{(k-1) \times a_k}$ 의 값은?

① $-34$ ② $-32$ ③ $-30$ ④ $-28$ ⑤ $-26$

정답

거듭제곱근의 정의_난이도 중 (2025년 10월 고2 15번)

수악중독 — Wed, 22 Oct 2025 00:00:57 +0900

$2$ 이상의 자연수 $n$에 대하여 $n-12$의 $n$제곱근 중 실수인 것의 개수를 $f(n)$이라 하자. $f(n) + f(2n) = 1$을 만족시키는 모든 $n$의 값의 합은?

① $10$ ② $12$ ③ $14$ ④ $16$ ⑤ $18$

정답 ③

극한_미정계수의 결정_난이도 중 (2025년 10월 고2 16번)

수악중독 — Tue, 21 Oct 2025 01:26:29 +0900

최고차항의 계수가 $1$인 두 이차함수 $f(x)$, $g(x)$가 $$f(1)=0, \quad \displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x+3) \times g(x)}{\{f(x)\}^2} = 0$$을 만족시킬 때, $f(5) + g(5)$의 값은?

① $14$ ② $16$ ③ $18$ ④ $20$ ⑤ $22$

정답 ④

등차수열의 일반항_난이도 중 (2025년 10월 고2 17번)

수악중독 — Tue, 21 Oct 2025 01:23:56 +0900

첫째항이 자연수이고 공차가 $-2$인 등차수열 $\lbrace a_n \rbrace$과 자연수 $k$가 $$a_4 \times a_5 \le 0, \quad \lvert a_1 - a_k \rvert = 4 \lvert a_k \rvert$$를 만족시킬 때, $a_1 + k$의 값은?

① $11$ ② $12$ ③ $13$ ④ $14$ ⑤ $15$

정답

삼각함수의 그래프_난이도 중 (2025년 10월 고2 18번)

수악중독 — Tue, 21 Oct 2025 01:21:07 +0900

함수 $f(x) = \sin(x+a)$가 다음 조건을 만족시키도록 하는 $3\pi$보다 작은 모든 양수 $a$의 값의 합은?

닫힌구간 $[0, \; \pi]$에서 함수 $f(x)$의 최댓값과 최솟값을 각각 $M,\; m$이라 할 때, $2|M| = |m|$ 이다.

① $\dfrac{25}{6}\pi$ ② $\dfrac{13}{3}\pi$ ③ $\dfrac{9}{2}\pi$ ④ $\dfrac{14}{3}\pi$ ⑤ $\dfrac{29}{6}\pi$

정답 ⑤

지수함수의 그래프_난이도 중 (2025년 10월 고2 19번)

수악중독 — Tue, 21 Oct 2025 01:16:19 +0900

그림과 같이 기울기가 $1$인 직선 $l$이 곡선 $y = 2^x$과 서로 다른 두 점 $\mathrm{A, \;B}$에서 만나고, 곡선 $y = 2^{x-1} + 1$과 서로 다른 두 점 $\mathrm{C,\; D}$에서 만난다. 점 $\mathrm{B}$가 선분 $\mathrm{AD}$를 $3:1$로 내분할 때, 점 $\mathrm{B}$의 $x$좌표는? (단, 점 $\mathrm{B}$의 $x$좌표는 점 $\mathrm{A}$의 $x$좌표보다 크고, 점 $\mathrm{D}$의 $x$좌표는 점 $\mathrm{C}$의 $x$좌표보다 크다.)

① $\log_2 \dfrac{23}{7}$ ② $\log_2 \dfrac{24}{7}$ ③ $\log_2 \dfrac{25}{7}$ ④ $\log_2 \dfrac{26}{7}$ ⑤ $\log_2 \dfrac{27}{7}$

정답 ②

등비수열의 일반항_난이도 중 (2025년 10월 고2 20번)

수악중독 — Tue, 21 Oct 2025 01:07:21 +0900

등비수열 $\lbrace a_n \rbrace$이 다음 조건을 만족시킬 때, $a_{10}$의 값은?

(가) $2$ 이상의 모든 자연수 $n$에 대하여 $$a_n > a_1, \quad a_n = (a_4 + a_5 - 1) \times a_{n-1}$$ 이다.
(나) $\displaystyle\sum_{n=1}^{3} a_n = \dfrac{6}{a_1 - a_2}$

① $\dfrac{1}{12}$ ② $\dfrac{1}{6}$ ③ $\dfrac{1}{4}$ ④ $\dfrac{1}{3}$ ⑤ $\dfrac{5}{12}$

정답 ③

지수함수의 그래프 & 로그부등식_난이도 중상 (2025년 10월 고2 21번)

수악중독 — Mon, 20 Oct 2025 00:21:10 +0900

함수 $$f(x)=\begin{cases} -2^{x + 3} + a & (x<0) \\[3pt] 2^{ - x + 6} + a - 12 & (x \ge 0)\end{cases}$$이 다음 조건을 만족시키도록 하는 모든 정수 $a$의 값의 합은?

$x$에 대한 방정식 $f(x) \times f(x-k)=0$의 서로 다른 실근의 개수가 $3$이 되도록 하는 $4$ 이하의 양수 $k$가 존재한다.

① $16$ ② $19$ ③ $22$ ④ $25$ ⑤ $28$

정답 ③

좌극한과 우극한_난이도 중하 (2025년 10월 고2 26번)

수악중독 — Mon, 20 Oct 2025 00:17:26 +0900

두 상수 $a$, $k$에 대하여 함수 $f(x) = a|\!x-2\!|$가 $$\displaystyle \lim_{x \to k+} \dfrac{f(x)-f(k)}{x-k} - \lim_{x \to k-} \dfrac{f(x)-f(k)}{x-k} = 6$$ 을 만족시킬 때, $f(a+k)$의 값을 구하시오.

정답 $9$

사인법칙&코사인법칙_난이도 중 (2025년 10월 고2 27번)

수악중독 — Mon, 20 Oct 2025 00:15:13 +0900

$\overline{\mathrm{AB}} = 6$인 삼각형 $\mathrm{ABC}$에 대하여 $$2\sin \mathrm{A} = \sin \mathrm{B}, \quad \cos \mathrm{C} = \dfrac{4}{5}$$ 일 때, 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이를 구하시오.

정답 $12$

함수의 연속과 불연속&사잇값 정리_난이도 중상 (2025년 10월 고2 28번)

수악중독 — Mon, 20 Oct 2025 00:11:51 +0900

닫힌구간 $[0, \;2]$에서 정의된 함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킬 때, $\dfrac{f(0)}{f(2)}$의 값을 구하시오.

(가) 함수 $f(x)$는 $x=1$에서만 불연속이고, $\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x) = 3f(2)$이다.
(나) $0 \le x \le 2$인 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x) \ne 2$이고, $f(0) + f(2) = 4$이다.

정답 $5$

수열의 귀납적 정의_난이도 중 (2025년 10월 고2 29번)

수악중독 — Mon, 20 Oct 2025 00:08:35 +0900

다음 조건을 만족시키는 수열 $\lbrace a_n \rbrace$에 대하여 $12(a_{14}+a_{15})$의 값을 구하시오.

(가) 모든 자연수 $n$에 대하여 $$a_{n+1} =\begin{cases}\dfrac{1}{a_n} - 1 & (a_n > 0) \\[5pt]- a_n & (a_n \le 0)\end{cases}$$
(나) $a_1 > 6$이고, $a_1 + a_5 + a_9 + a_{13} = 13$이다.

정답 $28$

함수의 연속_연속의 조건_난이도 상 (2025년 10월 고2 30번)

수악중독 — Sun, 19 Oct 2025 00:48:49 +0900

세 양수 $a, \; b, \; c$에 대하여 함수 $$f(x)=\begin{cases} (x+4)(x+a) & (x<-4, \; -4<x<0) \\ b & (x=-4) \\ -x^2+6x+c & (x \ge 0)\end{cases}$$이 있다.

상수 $k \; (k>4)$와 실수 $t$에 대햐여 함수 $f(x)$에서 $x$의 값이 $t$에서 $t+k$까지 변할 때의 평균변화율을 $g(t)$라 하고, $f(t) \times g(t)$의 값을 $h(t)$라 하자.

두 함수 $f(x), \; h(t)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 $h(t)$가 실수 전체의 집합에서 연속이다.

(나) $f(k)=b$

$f(c-a-b)$의 값을 구하시오.

정답 $50$

속도 가속도와 미분_난이도 하 (2025년 10월 고3 9번)

수악중독 — Sun, 19 Oct 2025 00:43:32 +0900

수직선 위를 움직이는 두 점 $\mathrm{P, \; Q}$의 시각 $t \; (t \ge 0)$에서의 위치가 각각 $$x_1 = -t^3+7t^2-10t, \quad x_2=t^2+2t$$이다. 두 점 $\mathrm{P, \; Q}$의 속도가 같아지는 순간 두 점 $\mathrm{P, \; Q}$ 사이의 거리는?

① $6$ ② $7$ ③ $8$ ④ $9$ ⑤ $10$

정답 ③

삼각함수의 그래프_난이도 중하 (2025년 10월 고3 10번)

수악중독 — Sun, 19 Oct 2025 00:40:39 +0900

두 양수 $a, b$에 대하여 닫힌구간 $[0, \; 2a]$에서 정의된 함수 $$f(x) = 3\sin{\dfrac{\pi x}{a}} + b$$의 그래프가 $x$축과 오직 한 점 $(2,\; 0)$에서 만날 때, $a + b$의 값은?

① $\dfrac{25}{6}$ ② $\dfrac{13}{3}$ ③ $\dfrac{9}{2}$ ④ $\dfrac{14}{3}$ ⑤ $\dfrac{29}{6}$

정답 ②