수악중독

실수 $t$ 에 대하여 곡선 $y=e^x$ 위의 점 $ \left (t, \; e^t \right )$ 에서의 접선의 방정식을 $y=f(x)$ 라 할 때, 함수 $y= \left | f(x) +k - \ln x \right |$ 가 양의 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 실수 $k$ 의 최솟값을 $g(t)$ 라 하자. 두 실수 $a, \; b \; (a< b)$ 에 대하여 $\displaystyle \int_a^b g(t) dt = m$ 이라 할 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $m

실수 전체의 집합에서 미분가능한 두 함수 $f(x), \; g(x)$ 가 모든 실수 $x$ 에 대하여 다음 조건을 만족시킨다. (가) $g(x+1)-g(x) = - \pi (e+1)e^x \sin(\pi x)$ (나) $g(x+1)=\displaystyle \int_0^x \left \{ f(t+1)e^t - f(t)e^t +g(t) \right \} dt$ $\displaystyle \int_0^1 f(x) dx = \dfrac{10}{9}e +4$ 일 때, $\displaystyle \int_1^{10} f(x) dx$ 의 값을 구하시오. 정답 $26$

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$ 에 대하여 $$f' \left (x^2 +x+1 \right ) = \pi f(1) \sin \pi x + f(3)x + 5x^2$$ 을 만족시킬 때, $f(7)$ 의 값을 구하시오. 정답 $93$

함수 $f(x)$ 의 도함수 $f'(x)=xe^{-x^2}$ 이다. 모든 실수 $x$ 에 대하여 두 함수 $f(x), \; g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (가) $g(x) =\displaystyle \int_1^x f'(t)(x+1-t) dt$(나) $f(x)=g'(x)-f'(x)$ ㄱ. $g'(1) = \dfrac{1}{e}$ ㄴ. $f(1)=g(1)$ㄷ. 어떤 양수 $x$ 에 대하여 $g(x)

두 함수 $f(x)=ax^2 \; (a>0)$ , $g(x)= \ln x$ 의 그래프가 한 점 $\rm P$ 에서 만나고, 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $\rm P$ 에서의 접선의 기울기와 곡선 $y=g(x)$ 위의 점 $\rm P$ 에서의 접선의 기울기가 서로 같다. 두 곡선 $y=f(x), \; y=g(x)$ 와 $x$ 축으로 둘러싸인 부분의 넓이는? (단, $a$ 는 상수이다.) ① $\dfrac{2 \sqrt{e} -3}{6}$ ② $\dfrac{2 \sqrt{e} -3}{3}$ ③ $\dfrac{ \sqrt{e} -1}{2}$ ④ $\dfrac{4 \sqrt{e} -3}{6}$ ⑤ $\sqrt{e}-1$ 정답 ②

실수 전체에서 증가하는 함수 $f(x)$ 가 다음 세 조건을 만족시킨다. (가) $f(0)=4, \; f(2)=e+4$ (나) $\displaystyle \int_0^2 f(x)\; dx = 2e+5$ (다) $f(x)=2f'(x)+\dfrac{1}{2} x +2$ 함수 $f(x)$ 의 역함수를 $g(x)$ 라 할 때, $\displaystyle \int_4^{e+4} \dfrac{1}{g'(x)} \; dx$ 의 값은? ① $\dfrac{1}{4} \left ( e^2 + 4e -4\right )$ ② $\dfrac{1}{4} \left ( e^2 + 4e -3 \right )$ ③ $\dfrac{1}{4} \left ( e^2 + 4e -2 \right )$ ④ $\dfrac{1}{4} \left (..

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $f(-1)$ 의 값은? (가) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $2 \{f(x)\}^2f'(x)=\{f(2x+1)\}^2f'(2x+1)$ 이다.(나) $f \left ( - \dfrac{1}{8} \right ) = 1, \;\; f(6)=2$ ① $ \dfrac{\sqrt[3]{3}}{6}$ ② $ \dfrac{\sqrt[3]{3}}{3}$ ③ $ \dfrac{\sqrt[3]{3}}{2}$ ④ $ \dfrac{2\sqrt[3]{3}}{3}$ ⑤ $ \dfrac{5\sqrt[3]{3}}{6}$ 정답 ④

최고차항의 계수가 $6\pi$ 인 삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $g(x)=\dfrac{1}{2+\sin(f(x))}$ 이 $x=\alpha$ 에서 극대 또는 극소이고, $\alpha \ge 0$ 인 모든 $\alpha$ 를 작은 수부터 크기순으로 나열한 것을 $\alpha_1, \; \alpha_2, \; \alpha_3, \; \alpha_4, \; \alpha_5, \; \cdots$ 라 할 때, $g(x)$ 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\alpha_1 = 0$ 이고 $g(\alpha_1) = \dfrac{2}{5}$ 이다. (나) $\dfrac{1}{g(\alpha_5)} = \dfrac{1}{g(\alpha_2)} + \dfrac{1}{2}$ $g' \left ( -\dfrac{..

구간 $(0, \; \infty)$ 에서 미분가능한 함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\displaystyle \int_1^x f \left ( t^2 \right ) dt = 2xf(x)+4$ (나) $\displaystyle \int_1^e \dfrac{f(t)}{t} \; dt = 1+ \dfrac{1}{e^2} - \dfrac{3}{e^4}$ 함수 $g(x)= \displaystyle \int_0^{\ln x^2} f \left (e^t \right ) dt$ 에 대하여 $\displaystyle \int_1^e g(x) dx = k_1 e + \dfrac{k_2}{e} + \dfrac{k_3}{e^3} + k_4$ 일 때, $|k_1| + |k_2| + |k_3| + |k_..

함수 $f(x)=\dfrac{x}{e^x}$ 에 대하여 구간 $\left [ \dfrac{12}{e^{12}}, \; \infty \right )$ 에서 정의된 함수 $$g(t) = \displaystyle \int_0^{12} | f(x) -t |\; dx$$ 가 $t=k$ 에서 극솟값을 갖는다. 방정식 $f(x)=k$ 의 실근의 최솟값을 $a$ 라 할 때, $g'(1) + \ln \left (\dfrac{6}{a} +1 \right ) $ 의 값을 구하시오. 정답 $18$