수악중독

전체집합 $U=\{x \; | \; x$ 는 $20$ 이하의 자연수 $\}$ 의 두 부분집합 $A, \; B$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $n(A)=n(B)=8, \; n(A \cap B)=1$ (나) 집합 $A$ 의 임의의 서로 다른 두 원소의 합은 $9$ 의 배수가 아니다. (다) 집합 $B$ 의 임의의 서로 다른 두 원소의 합은 $10$ 의 배수가 아니다. 집합 $A$ 의 모든 원소의 합을 $S(A)$, 집합 $B$ 의 모든 원소의 합을 $S(B)$ 라 할 때, $S(A)-S(B)$ 의 최댓값을 구하시오. 더보기 정답 $63$

두 정수 $m, \; n$ 에 대하여 이차함수 $f(x)$ 와 일차함수 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $f(x)$ 의 최댓값은 $0$ 이다. (나) 함수 $y=f(x)$ 의 그래프와 함수 $y=g(x)$ 의 그래프는 두 점 $(m, \;0)$ , $(m+4, \; 32n)$ 에서 만난다. (다) $0 \le a \le 4$ 인 정수 $a$ 에 대하여 정수 $b$ 가 부등식 $g(m+a) \le b \le f(m+a)$ 를 만족시킬 때, $a, \; b$ 의 모든 순서쌍 $(a, \; b)$ 의 개수는 $45$ 이다. 방정식 $\{f(x)\}^2 - \{g(x)\}^2=0$ 을 만족시키는 실근 중 최댓값과 최솟값의 합이 $8$ 일 때, $f(5) \times g(5)$ 의 값을 구하..

$\dfrac{\sqrt{2}}{2}

그림은 이차함수 $f(x)=-x^2+11x-10$ 의 그래프와 직선 $y=-x+10$ 을 나타낸 것이다. 직선 $y=-x+10$ 위의 한 점 ${\rm A}(t, \; -t+10)$ 에 대하여 점 $\rm A$ 를 지나고 $y$ 축에 평행한 직선이 이차함수 $y=f(x)$ 의 그래프와 만나는 점을 $\rm B$, 점 $\rm B$ 를 지나고 $x$ 축과 평행한 직선이 이차함수 $y=f(x)$ 의 그래프와 만나는 점 중 $\rm B$ 가 아닌 점을 $\rm C$, 점 $\rm A$ 를 지나고 $x$ 축에 평행한 직선과 점 $\rm C$ 를 지나고 $y$ 축에 평행한 직선이 만나는 점을 $\rm D$ 라 하자. 네 점 $\rm A, \; B, \; C, \; D$ 를 꼭짓점으로 하는 직사각형의 둘레의 길이의..

그림과 같이 이차함수 ​ 의 그래프와 직선 ​ 가 만나는 두 점을 각각 ​ 라 하고, 점 ​ 와 ​ 에서 ​ 축에 내린 수선의 발을 각각 ​ 라 하자. 삼각형 ​ 의 넓이를 ​, 삼각형 ​ 의 넓이를 ​ 라 할 때, ​ 을 만족시키는 양수 ​ 의 값을 구하시오. (단, ​ 는 원점이고, 두 점 ​ 는 각각 제 ​ 사분면과 제 ​ 사분면 위에 있다.) 정답 $13$

$50$ 이하의 두 자연수 $m, \; n$ 에 대하여 $\left \{ i^n + \left ( \dfrac{1}{i} \right )^{2n}\right \}^m$ 의 값이 음의 실수가 되도록 하는 순서쌍 $(m, n)$ 의 개수를 구하시오. (단, $i=\sqrt{-1}$ 이다.) 정답 $150$

그림과 같이 합동인 $9$ 개의 정사각형으로 이루어진 색칠판이 있다.빨간색과 파란색을 포함하여 총 $9$ 가지의 서로 다른 색으로 이 색칠판을 다음 조건을 만족시키도록 칠하려고 한다. (가) 주어진 $9$ 가지의 색을 모두 사용하여 칠한다. (나) 한 정사각형에는 한 가지 색만을 칠한다. (다) 빨간색과 파란색이 칠해진 두 정사각형은 꼭짓점을 공유하지 않는다. 색칠판을 칠하는 경우의 수는 $k \times 7!$ 이다. $k$ 의 값을 구하시오. (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) 정답 $8$

서로 다른 종류의 꽃 $4$ 송이와 같은 종류의 초콜릿 $2$ 개를 $5$ 명의 학생에게 남김없이 나누어 주려고 한다. 아무것도 받지 못하는 학생이 없도록 꽃과 초콜릿을 나누어 주는 경우의 수를 구하시오.정답 $960$학생은 $5$ 명이고, 나누어 줄 물품은 $6$ 개 이므로 어느 한 사람은 두 가지 물품을 받아야 한다. 1) 두 가지 물품을 받는 학생이 초콜릿만 두 개를 받는 경우 두 가지 물품을 받을 사람을 선택하는 경우의 수 : ${}_5 {\rm C}_1$ 나머지 네 명에게 꽃을 나누어 주는 경우의 수 : $4!$ 따라서 ${}_5{\rm C}_1 \times 4! = 120$ 2) 두 가지 물품을 받는 학생이 꽃만 $2$ 개를 받는 경우 두 가지 물품을 받을 사람을 선택하는 경우의 수 : ${}..

함수 $f(x) = \sqrt{ax-3} +2 ~ \left ( a \ge \dfrac{3}{2} \right ) $ 에 대하여 집합 $\{x~|~x \ge 2\}$ 에서 정의된 함수 $$g(x) = \begin{cases} f(x) & (f(x)< f^{-1}(x)~인~경우) \\ f^{-1}(x) & (f(x) \ge f^{-1}(x) ~인~경우) \end{cases}$$ 가 있다. 자연수 $n$ 에 대하여 함수 $y=g(x)$ 의 그래프와 직선 $y=x-n$ 이 만나는 서로 다른 점의 개수를 $h(n)$ 이라 하자. $$h(1)=h(3) < h(2)$$ 일 때, $g(4)=\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $a$ 는 상수이고, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수..

그림과 같이 직각삼각형 $\rm ABC$ 가 있다. 세 직선 $\rm AB, \; BC, \; CA$ 에 동시에 접하는 네 원 $O_1, \; O_2, \; O_3, \; O_4$ 의 반지름의 길이를 각각 $r_1, \; r_2, \; r_3, \; r_4$ 라 하자. 직각삼각형 $\rm ABC$ 의 넓이가 $\dfrac{15}{2}$ 이고 $r_1=1$ 일 때, $r_2+r_3+r_4$ 의 값을 구하시오. 정답 $14$