수악중독

두 양수 $a$, $b$에 대하여 $$\lim \limits_{{n \to \infty}} \left( \sqrt{a n^2 + b n} - b n \right) = \lim_{{n \to \infty}} \dfrac{(b n - 1)^2}{(b + 6) n^2 + 1}$$ 일 때, $a + b$의 값은?① $6$ ② $12$ ③ $18$ ④ $24$ ⑤ $30$ 더보기정답 ①

자연수 $n$에 대하여 곡선 $y=x^2+5x+3$과 직선 $x=n$이 만나는 점을 $\mathrm{P}_n$이라 하고, 점 $\mathrm{P}_n$을 지나고 기울기가 $-1$인 직선이 $x$축과 만나는 점을 $\mathrm{Q}_n$, $y$축과 만나는 점을 $\mathrm{R}_n$이라 하자.$\sum \limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{3\sqrt{2}}{\overline{\mathrm{P}_n\mathrm{Q}_n} - \overline{\mathrm{P}_n\mathrm{R}_n}}$의 값은?① $\dfrac{1}{4}$ ② $\dfrac{1}{2}$ ③ $\dfrac{3}{4}$ ④ $1$ ⑤ $\dfrac{5..

수열 $\{a_n\}$은 모든 항이 양수인 등비수열이고, 수열 $\{b_n\}$을 모든 자연수 $n$에 대하여 $$b_n=\begin{cases}(-1)^n & (a_n (가) 급수 $\sum \limits_{n=1}^\infty (3b_{3n-2} - 7b_{3n-1} + 2b_{3n})$은 수렴한다. (나) $b_5^2 = b_4b_6 - \dfrac{9}{4}$ $90a_3$의 값을 구하시오. 더보기정답 $15$

수열 $\{a_n\}$에 대하여  $$\lim_{n \to \infty} \dfrac{(2n+3)a_n}{n^2} = 3$$일 때, $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{na_n}{3n^2 + 1}$의 값은? ① $\dfrac{1}{6}$          ② $\dfrac{1}{3}$          ③ $\dfrac{1}{2}$          ④ $\dfrac{2}{3}$          ⑤ $\dfrac{5}{6}$더보기정답 ③

자연수 $k$에 대하여 수열 $\{a_n\}$의 일반항을 $$a_n = \dfrac{(k^2 + 9)^n + 30^n}{(10k)^n}$$이라 하자. 수열 $\{a_n\}$이 수렴하도록 하는 모든 자연수 $k$의 개수는? ① $4$          ② $5$          ③ $6$          ④ $7$          ⑤ $8$더보기정답 ④

수열 $\{a_n\}$이 모든 자연수 $n$에 대하여 $$\sum \limits_{k=1}^n \dfrac{a_k - k^2}{k+1} = 2n^2 - n$$을 만족시킬 때, $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{a_n}{n^2 + 1}$의 값은?① $1$          ② $2$          ③ $3$          ④ $4$          ⑤ $5$더보기정답 ⑤

모든 항이 양수인 수열 $\{a_n\}$이 모든 자연수 $n$에 대하여 다음 조건을 만족시킨다. $0 $\lim \limits_{n \to \infty} n a_n$의 값은?① $\dfrac{2}{3}$         ② $\dfrac{3}{4}$         ③ $1$         ④ $\dfrac{4}{3}$         ⑤ $\dfrac{3}{2}$더보기정답 ②

삼차함수 $f(x) = ax^3 + bx$ ($a > 0$)가 다음 조건을 만족시킨다. 모든 실수 $x$에 대하여 $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{2x^{2n+2} + x^n + f(x)}{x^{2n} + x^n + 1}$의 값이 존재한다. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $g(x)$를  $$g(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{2x^{2n+2} + x^n + f(x)}{x^{2n} + x^n + 1}$$라 하자. 함수 $y = g(x)$의 그래프와 직선 $y = k$가 만나는 점의 개수가 $1$이 되도록 하는 자연수 $k$가 존재할 때, $g\left(-\dfrac{1}{2}\right) \times g(2)$의 값은? (단, $a, b$는 상수이..

그림과 같이 자연수 $n$ ($n \geq 2$)에 대하여 중심이 $\mathrm{C}$이고 반지름의 길이가 $n$인 원 $O$와 $\overline{\mathrm{AB}}=2$를 만족시키는 원 $O$ 위의 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$가 있다. $\angle \mathrm{BAC}$를 이등분하는 직선이 원 $O$와 만나는 점 중 $\mathrm{A}$가 아닌 점을 $\mathrm{D}$라 하자. 점 $\mathrm{B}$를 포함하지 않는 호 $\mathrm{AD}$ 위의 점 $\mathrm{E}$에 대하여 $\overline{\mathrm{BD}}:\overline{\mathrm{DE}} = \sqrt{2}:1$일 때, 삼각형 $\mathrm{CDE}$의 넓이를 $S_n$이라 ..

수열 $\{a_n\}$ 에 대하여 $\lim \limits_{n to \infty} \dfrac{na_n}{n^2+3}=1$ 일 때, $\lim \limits_{n \to \infty} \left ( \sqrt{a_n^2+n}-a_n \right )$ 의 값은? ① $\dfrac{1}{3}$          ② $\dfrac{1}{2}$          ③ $1$          ④ $2$          ⑤ $3$ 더보기정답 ②