수악중독

두 수열 $\{a_{n}\}, \{\mathrm{b}_{n}\}$ 에 대하 $\displaystyle{\lim_{n \to \infty} (3n+2)a_{n} = 6, \lim_{n \to \infty} \dfrac{\mathrm{b}_{n}}{n} = 2}$ 일 때, $\displaystyle{\lim_{n \to \infty} a_{n}\mathrm{b}_{n}}$ 의 값은? ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$ 더보기정답 ④

수열 $\{a_{n}\}$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $\displaystyle{\sum_{k=1}^{n} a_{k} }= \sqrt{n+2}$ 를 만족시킬 때, $\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \sqrt{n}a_{n}}$ 의 값은? ① $\dfrac{1}{2}$ ② $1$ ③ $\dfrac{3}{2}$ ④ $2$ ⑤ $\dfrac{5}{2}$ 더보기정답 ①

자연수 $a$ 에 대하여 $\displaystyle {\lim_{n \to \infty} \dfrac{5a^{2n} + (2a)^{n+1}}{a^{2n} + (2a)^{n}} }= a+1$ 을 만족시키는 모든 자연수 $a$ 의 값의 합은? ① $4$ ② $5$ ③ $6$ ④ $7$ ⑤ $8$ 더보기정답 ②

모든 항이 양수인 수열 $\{a_{n}\}$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대하여 다음 조건을 만족시킨다. 좌표평면에서 원점을 지나고 기울기가 $a_{n}$ 인 직선이 점 $(2n-1, 0)$ 을 중심으로 하고 반지름의 길이가 $n$ 인 원과 서로 다른 두 점에서 만나고, 점 $(2n+1, 0)$ 을 중심으로 하고 반지름의 길이가 $n+1$ 인 원과 만나지 않는다. $\displaystyle {\lim_{n \to \infty} n \left (3 - \dfrac{1}{a_{n}^{2}} \right )}$ 의 값은? ① $2$ ② $\dfrac{5}{2}$ ③ $3$ ④ $\dfrac{7}{2}$ ⑤ $4$ 더보기정답 ⑤

함수 $f(x)=x^{2}+5$ 가 있다. 두 자연수 $p, q$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를$$g(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{2}px^{2}+\dfrac{1}{2}qx+5 & (x 이라 하자. 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $h(x) = \displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \dfrac{(f(x))^{2n+1} + 5^{2n} \times g(x)}{(f(x))^{2n} + 5^{2n}}}$ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 자연수의 개수가 $7$ 이다. 자연수 $k$ 에 대하여 직선 $y=\left (k-\dfrac{1}{2^{n}} \right )x+5$ 가 함수 $y=h(x)$ 의 그래프와 만나는 점의 개수를 $a_{n}$ 이라 할 때, $..

그림과 같이 자연수 $n$ 에 대하여 $\overline{\mathrm{AC}}=\overline{\mathrm{BC}}=4n+2$ 인 사각형 $\mathrm{ABCD}$ 가 있다. 선분 $\mathrm{AB}$ 의 중점을 $\mathrm{P}$, 선분 $\mathrm{BC}$ 의 중점을 $\mathrm{Q}$ 라 하고, 선분 $\mathrm{DQ}$ 가 선분 $\mathrm{AC}$ 와 만나는 점을 $\mathrm{R}$ 이라 하자. $\angle \mathrm{CAB} = \angle \mathrm{PQR}, \overline{\mathrm{CP}} = \sqrt{15n^{2}+16n+4}, \overline{\mathrm{DR}} : \overline{\mathrm{DC}} = 1 : 2$ 일 때,..

다음 조건을 만족시키는 모든 자연수 $k$ 의 값의 합을 구하시오. (단, $k$ 는 $20$ 이하의 자연수이다.) 두 정수 $a, b$ 에 대하여 $\lim_{n \to \infty} |a|(a+b)^{n}$ 의 값과 $\lim_{n \to \infty} |\dfrac{2a+2b-20}{k}|^{n}$ 의 값이 모두 존재하며 $\lim_{n \to \infty} |a|(a+b)^{n} = \lim_{n \to \infty} |\dfrac{2a+2b-20}{k}|^{n}$ 이 되도록 하는 정수 $a, b$ 의 모든 순서쌍 $(a, b)$ 의 개수는 $19$ 이다. 더보기정답 $57$

첫째항과 공차가 같은 등차수열 ${a_{n}}$과 등비수열 ${b_{n}}$이 다음 조건을 만족시킨다. 어떤 자연수 $k$에 대하여 $$b_{k+i}=\dfrac{1}{a_i}−1 \quad (i=1, \;2, \;3)$$ 이다. 부등식 $$0 더보기정답 $97$

등비수열 $\{a_n\}$에 대하여 $$\sum_{n=1}^{\infty}(a_n + a_{n+1}) = 5, \quad \sum_{n=1}^{\infty}\left( \left| a_{n+1} + a_{n+2} \right| \times \sin \dfrac{n\pi}{2} \right) = 2$$ 일 때, $\sum \limits_{n=1}^{\infty} (100a_n - m a_{3n})$의 값이 자연수가 되도록 하는 자연수 $m$의 최댓값을 구하시오. 더보기정답 $686$

첫째항이 양수이고 공비가 유리수인 등비수열 $\{a_n\}$에 대하여 급수 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$이 수렴하고, 수열 $\{a_n\}$이 다음 조건을 만족시킨다. (가) $a_1 + a_2 (나) 수열 $\{a_n\}$의 정수인 항의 개수는 $3$이고, 이 세 항의 곱은 $216$이다. $\sum_{n=1}^{\infty} a_n=\dfrac{q}{p}$일 때, $p + q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) 더보기정답 $91$