수악중독

최고차항의 계수가 $1$ 이고 $f(2)=3$ 인 삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $$g(x) = \begin{cases}\dfrac{ax-9}{x-1} & (x

함수 $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$ 와 양의 실수 $t$ 에 대하여 기울기가 $t$ 인 직선이 곡선 $y=f(x)$ 에 접할 때 접점의 $x$ 좌표를 $g(t)$ 라 하자. 원점에서 곡선 $y=f(x)$ 에 그은 접선의 기울기가 $a$ 일 때, 미분가능한 함수 $g(t)$ 에 대하여 $a \times g'(a)$ 의 값은? ① $-\dfrac{\sqrt{e}}{3}$ ② $-\dfrac{\sqrt{e}}{4}$ ③ $-\dfrac{\sqrt{e}}{5}$ ④ $-\dfrac{\sqrt{e}}{6}$ ⑤ $-\dfrac{\sqrt{e}}{7}$ 정답 ②

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$ 가 모든 실수 $x$ 에 대하여 다음 조건을 만족시킨다. (가) $f(x)>0$(나) $\ln f(x) + 2 \displaystyle \int_0^x (x-t)f(t)dt = 0$ 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $x>0$ 에서 함수 $f(x)$ 는 감소한다.ㄴ. 함수 $f(x)$ 의 최댓값은 $1$ 이다.ㄷ. 함수 $F(x)$ 를 $F(x) = \displaystyle \int_0^x f(t) dt$ 라 할 때, $f(1)+ \{ F(1) \} ^2 =1$ 이다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ⑤

좌표평면 위에 두 점 ${\rm A}(3, \; 0)$, ${\rm B}(0, \; 3)$ 과 직선 $x=1$ 위의 점 ${\rm P}(1, \; a)$ 가 있다. 점 $\rm Q$ 가 중심각의 크기가 $\dfrac{\pi}{2}$ 인 부채꼴 $\rm OAB$ 의 호 $\rm AB$ 위를 움직일 때, $\left | \overrightarrow{\rm OP} + \overrightarrow{\rm OQ} \right |$ 의 최댓값을 $f(a)$ 라 하자. $f(a)=5$ 가 되도록 하는 모든 실수 $a$ 의 값의 곱은? (단, $\rm O$ 는 원점이다.) ① $-5\sqrt{3}$ ② $-4\sqrt{3}$ ③ $-3\sqrt{3}$ ④ $-2\sqrt{3}$ ⑤ $-\sqrt{3}$ 정답 ③

좌표평면에서 곡선 $C\;:\; y=\sqrt{8-x^2}\;\; \left (2 \le x\le 2\sqrt{2} \right ) $ 위의 점 $\rm P$ 에 대하여 $\overline{\rm OQ}=2$ , $\angle {\rm POQ}= \dfrac{\pi}{4}$ 를 만족시키고 직선 $\rm OP$ 의 아랫부분에 있는 점을 $\rm Q$ 라 하자.점 $\rm P$ 가 곡선 $C$ 위를 움직일 때, 선분 $\rm OP$ 위를 움직이는 점 $\rm X$ 와 선분 $\rm OQ$ 위를 움직이는 점 $\rm Y$ 에 대하여 $$\overrightarrow{\rm OZ}= \overrightarrow{\rm OP} + \overrightarrow{\rm OX}+ \overrightarrow{\rm OY..

상수 $a, \; b$ 에 대하여 함수 $f(x)= a \sin ^3 x + b \sin x$ 가 $$f \left ( \dfrac{\pi}{4} \right ) = 3 \sqrt{2}, \;\; f \left ( \dfrac{\pi}{3} \right ) = 5 \sqrt{3}$$ 을 만족시킨다. 실수 $t \; (1 < t < 14)$ 에 대하여 함수 $y=f(x)$ 의 그래프와 직선 $y=t$ 가 만나는 점의 $x$ 좌표 중 양수인 것을 작은 수부터 크기순으로 모두 나열할 때, $n$ 번째 수를 $x_n$ 이라 하고 $$c_n = \displaystyle \int_{3\sqrt{2}}^{5\sqrt{3}} \dfrac{t}{f'(x_n)} dt$$ 라 하자. $\sum \limits_{n=1}^{1..

그림과 같이 반지름의 길이가 $1$ 이고 중심각의 크기가 $\dfrac{\pi}{2}$ 인 부채꼴 $\rm OAB$ 가 있다. 호 $\rm AB$ 위의 점 $\rm P$ 에서 선분 $\rm OA$ 에 내린 수선의 발을 $\rm H$ 라 하고, 호 $\rm BP$ 위에 점 $\rm Q$ 를 $\angle \rm POH = \angle PHQ$ 가 되도록 잡는다. $\angle \rm POH = \theta$ 일 때, 삼각형 $\rm OHQ$ 의 넓이를 $S(\theta)$ 라 하자. $\lim \limits_{\theta \to 0+} \dfrac{S(\theta)}{\theta}$ 의 값은? $단 \left (단,\; 0 < \theta < \dfrac{\pi}{6} \right )$ ① $\dfrac{..

자연수 $n\;(n\ge3)$ 에 대하여 집합 $A$ 를 $$A=\{(x, \; y)\; |\; 1 \le x \le y \le n, \; x 와\; y는 \; 자연수\}$$ 라 하자. 집합 $A$ 에서 임의로 선택된 한 개의 원소 $(a, \; b)$ 에 대하여 $b$ 가 $3$ 의 배수일 때, $a=b$ 일 확률이 $\dfrac{1}{9}$ 가 되도록 하는 모든 자연수 $n$ 의 값의 합을 구하시오. 정답 $48$

자연수 $n$ 에 대하여 $2a+2b+c+d=2n$ 을 만족시키는 음이 아닌 정수 $a, \; b, \; c, \; d$ 의 모든 순서쌍 $(a, \; b, \; c, \; d)$ 의 개수를 $a_n$ 이라 하자. 다음은 $\sum \limits_{n=1}^8 a_n$ 의 값을 구하는 과정이다. 음이 아닌 정수 $a, \; b, \; c, \; d$ 가 $2a+2b+c+d=2n$ 을 만족시키려면 음이 아닌 정수 $k$ 에 대하여 $c+d=2k$ 이어야 한다. $c+d=2k$ 인 경우는 (1) 음이 아닌 정수 $k_1, \; k_2$ 에 대하여 $c=2k_1, \; d=2k_2$ 인 경우이거나 (2) 음이 아닌 정수 $k_3, \; k_4$ 에 대하여 $c=2k_3+1, \; d=2k_4 +1$ 인 경우이..

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