수악중독

그림과 같이 $1$ 보다 큰 실수 $a$ 에 대하여 곡선 $y=| \log_a x|$ 가 직선 $y=k\; (k>0)$ 과 만나는 두 점을 각각 $\rm A, \; B$ 라 하고, 직선 $y=k$ 가 $y$ 축과 만나는 점을 $\rm C$ 라 하자. $\overline{\rm OC} = \overline{\rm CA}=\overline{\rm AB}$ 일 때, 곡선 $y=| \log_a x |$ 와 직선 $y=2\sqrt{2}$ 가 만나는 두 점 사이의 거리는 $d$ 이다. $20d$ 의 값을 구하시오. (단, $\rm O$ 는 원점이고, 점 $\rm A$ 의 $x$ 좌표는 점 $\rm B$ 의 $x$ 좌표보다 작다.) 정답 $75$

그림과 같이 바둑판 모양의 도로망이 있다. 이 도로망은 정사각형 $R$ 와 같이 한 변의 길이가 $1$ 인 정사각형 $9$ 개로 이루어진 모양이다. 이 도로망을 따라 최단거리로 $\rm A$ 지점에서 출발하여 $\rm B$ 지점을 지나 다시 $\rm A$ 지점까지 돌아올 때, 다음 조건을 만족시키는 경우의 수를 구하시오.(가) 정사각형 $R$ 의 네 변을 모두 지나야 한다. (나) 한 변의 길이가 $1$ 인 정사각형 중 네 변을 모두 지나게 되는 정사각형은 오직 정사각형 $R$ 뿐이다. 정답 $40$

양의 실수 $t$ 와 최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $$g(t) = \dfrac{f(t)-f(0)}{t}$$ 이라 하자. 두 함수 $f(x)$ 와 $g(t)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.(가) 함수 $g(t)$ 의 최솟값은 $0$ 이다. (나) $x$ 에 대한 방정식 $f'(x)=g(a)$ 를 만족시키는 $x$ 의 값은 $a$ 와 $\dfrac{5}{3}$ 이다. (단, $a>\dfrac{5}{3}$ 인 상수이다.) 자연수 $m$ 에 대하여 집합 $A_m$ 을 $$A_m = \{x \; | \; f'(x)=g(m), \; 0

자연수 $k$ 에 대하여 집합 $A_k$ 를 $$A_k = \left \{ \left . \sin \dfrac{2(m-1)}{k}\pi ~\right |~ m은 \; 자연수 \right \} $$ 라 할 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $A_3 = \left \{ -\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \; 0, \; \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right \}$ ㄴ. $1$ 이 집합 $A_k$ 에 원소가 되도록 하는 두 자리 자연수 $k$ 의 개수는 $22$ 이다. ㄷ. $n(A_k)=11$ 을 만족시키는 모든 $k$ 의 값의 합은 $33$ 이다 ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ②

어느 학교 도서관에서 독서프로그램 운영을 위해 철학, 사회과학, 자연과학, 문학, 역사 분야에 해당하는 책을 각 분야별로 $10$ 권씩 총 $50$ 권을 준비하였다. 한 학급에서 이 $50$ 권의 책 중 $24$ 권의 책을 선택하려고 할 때, 다음 조건을 만족시키도록 선택하는 경우의 수를 구하시오. (단, 같은 분야에 해당하는 책은 서로 구별하지 않는다.)(가) 철학, 사회과학, 자연과학 각각의 분야에 해당하는 책은 $4$ 권 이상씩 선택한다. (나) 문학 분야에 해당하는 책은 선택하지 않거나 $4$ 권 이상 선택한다. (다) 역사 분야에 해당하는 책은 선택하지 않거나 $4$ 권 이상 선택한다. 정답 $396$

두 수열 $\{a_n\}, \; \{b_n\}$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대하여 다음 조건을 만족시킨다. (가) $a_{2n} = b_n+2$ (나) $a_{2n+1} = b_n-1$ (다) $b_{2n} = 3a_n -2$ (라) $b_{2n+1} = -a_n +3$ $a_{48} = 9$ 이고 $\sum \limits_{n=1}^{63} a_n - \sum \limits_{n-=1}^{31} b_n = 155$ 일 때, $b_{32}$ 의 값을 구하시오. 정답 $79$

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좌표평면에서 제 $1$ 사분면에 점 ${\rm P}$ 가 있다. 점 $\rm P$ 를 직선 $y=x$ 에 대하여 대칭이동한 점을 $\rm Q$ 라 하고, 점 $\rm Q$ 를 원점에 대하여 대칭이동한 점을 $\rm R$ 라 할 때, 세 동경 $\rm OP, ~ OQ, ~ OR$ 가 나타내는 각을 각각 $\alpha, ~\beta, ~ \gamma$ 라 하자. $\sin \alpha = \dfrac{1}{3}$ 일 때, $9 \left ( \sin ^2 \beta + \tan ^2 \gamma \right )$ 의 값을 구하시오. (단, $\rm O$ 는 원점이고, 시초선은 $x$ 축의 양의 방향이다.) 정답 $80$

그림과 같이 합동인 $9$ 개의 정사각형으로 이루어진 색칠판이 있다.빨간색과 파란색을 포함하여 총 $9$ 가지의 서로 다른 색으로 이 색칠판을 다음 조건을 만족시키도록 칠하려고 한다. (가) 주어진 $9$ 가지의 색을 모두 사용하여 칠한다. (나) 한 정사각형에는 한 가지 색만을 칠한다. (다) 빨간색과 파란색이 칠해진 두 정사각형은 꼭짓점을 공유하지 않는다. 색칠판을 칠하는 경우의 수는 $k \times 7!$ 이다. $k$ 의 값을 구하시오. (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) 정답 $8$

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