수악중독

$x \ge \dfrac{1}{100}$ 인 실수 $x$ 에 대하여 $\log x$ 의 가수를 $f(x)$ 라 하자. 다음 조건을 만족시키는 두 실수 $a, \; b$ 의 순서쌍 $(a, \; b)$ 를 좌표평면에 나타낸 영역을 $R$ 라 하자. (가) $a10$ 이다.(나) 함수 $y=9f(x)$ 의 그래프와 직선 $y=ax+b$ 가 한 점에서만 만난다. 영역 $R$ 에 속하는 점 $(a, \;b)$ 에 대하여 $(a+20)^2+b^2$ 의 최솟값은 $100 \times \dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 정답 $222$

좌표평면에서 자연수 $n$ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 삼각형 $\rm OAB$ 의 개수를 $f(n)$ 이라 할 때, $f(1)+f(2)+f(3)$ 의 값을 구하시오. (단, $\rm O$ 는 원점이다.) (가) 점 $\rm A$ 의 좌표는 $\left (-2, \; 3^n \right )$ 이다.(나) 점 $\rm B$ 의 좌표를 $(a, \; b)$ 라 할 때, $a$ 와 $b$ 는 자연수이고 $b \le \log_2 a$ 를 만족시킨다.(다) 삼각형 $\rm OAB$ 의 넓이는 $50$ 이하이다. 정답 $120$

좌표평면에서 $2$ 이상의 자연수 $n$ 에 대하여 두 곡선 $y=3^x-n$, $y=\log_3(x+n)$ 으로 둘러싸인 영역의 내부 또는 그 경계에 포함되고 $x$ 좌표와 $y$ 좌표가 모두 자연수인 점의 개수가 $4$ 가 되도록 하는 자연수 $n$ 의 개수를 구하시오. 정답 $16$

두 곡선 $y=2^x, \; y=-4^{x-2}$ 이 $y$ 축과 평행한 한 직선과 만나는 서로 다른 두 점을 각각 $\rm A, \;B$ 라 하자. $\overline{\rm OA}= \overline{\rm OB}$ 일 때, 삼각형 $\rm AOB$ 의 넓이는? (단, $\rm O$ 는 원점이다.) ① $64$ ② $68$ ③ $72$ ④ $76$ ⑤ $80$ 정답 ①