수악중독

실수 전체의 집합에서 증가하는 연속함수 $f(x)$의 역함수 $f^{-1}(x)$가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $|x| \le 1$일 때, $4 \times \left( f^{-1}(x) \right)^{2} = x^{2} (x^{2} - 5)^{3}$이다. (나) $|x| > 1$일 때, $\left| f^{-1}(x) \right| = e^{|x|-1} + 1$이다. 실수 $m$에 대하여 기울기가 $m$이고 점 $(1, 0)$을 지나는 직선이 곡선 $y = f(x)$와 만나는 점의 개수를 $g(m)$이라 하자. 함수 $g(m)$이 $m = a$, $m = b$ ($a 더보기정답 $11$

함수 $f(x) = ax^3 - 2ax^2 + bx - b - 2$ 가 다음 조건을 만족시키도록 하는 두 정수 $a \; (a \neq 0), \; b$에 대하여 $h'\left (-\sqrt{2} \right )$의 최댓값이 $\dfrac{k}{\pi}$일 때, $k^2$의 값을 구하시오. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수$$g(x)=\begin{cases}f(x) + 2 & (x 2) \\ -2 \cos \left( \dfrac{\pi}{4} f(x) \right) & (0 \le x \le 2)\end{cases}$$ 는 역함수 $h(x)$를 갖는다. 더보기정답 $8$

삼차함수 $f(x)$와 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $g(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x)=g(x)-\tan g(x)$이고 다음 조건을 만족시킬 때, $g'(0)\times (g(0))^2$의 값은? (가) $f(0)=0$, $f''(\pi)=0$ (나) $\sin g(\pi)=0$, $\lim \limits_{x \to \infty}g(x)=\dfrac{3\pi}{2}$ ① $-12$ ② $-6$ ③ $-1$ ④ $3$ ⑤ $9$ 더보기정답 ②

실수 $a$에 대하여 함수 $$f(x) = \begin{cases}\dfrac{\ln(-x)}{x} & (x $k \ge a$인 모든 실수 $k$에 대하여 함수 $y=f(x)$의 그래프와 직선 $y=tx+k$가 만나는 서로 다른 점의 개수는 $2$이다. $g(1)+h'(1)$의 값은? (단, $\lim \limits_{x \to -\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$) [4점]① $\dfrac{1}{3}$ ② $\dfrac{1}{2}$ ③ $\dfrac{2}{3}$ ④ $\dfrac{5}{6}$ ⑤ $1$ 더보기정답 ②

함수 $f(a) = e^{3x} - 3e^{2x} + 4e^x$의 역함수를 $g(a)$라 하자. $g'(a) = \dfrac{1}{8}$이 되도록 하는 실수 $a$에 대하여 $a + f'(g(a))$의 값은? ① $11$ ② $12$ ③ $13$ ④ $14$ ⑤ $15$ 더보기정답 ②

그림과 같이 길이가 $2$인 선분 $\mathrm{AB}$를 지름으로 하는 반원의 호 $\mathrm{AB}$ 위의 점 $\mathrm{P}$에 대하여 $\angle \mathrm{BAP} = \theta$ $\left (\dfrac{\pi}{4} ① $-\dfrac{64}{25}$ ② $-\dfrac{59}{25}$ ③ $-\dfrac{54}{25}$ ④ $-\dfrac{49}{25}$ ⑤ $-\dfrac{44}{25}$ 더보기정답 ③

실수 전체의 집합에서 이계도함수를 갖는 함수 $f(x)$와 두 상수 $a$, $b$가 다음 조건을 만족시킬 때, $a \times e^b$의 값은? (가) 모든 실수 $x$에 대하여 $$(f(x))^5 + (f(x))^3 + a x + b = \ln \left (x^2 + x + \dfrac{5}{2}\right )$$이다.(나) $f(-3)f(3) 0$ ① $-3e^{-\frac{4}{3}}$ ② $-\dfrac{5}{3}e^{-\frac{4}{3}}$ ③ $-\dfrac{1}{3}e^{-\frac{4}{3}}$ ④ $e^{-\frac{4}{3}}$ ⑤ $\dfrac{7}{3}e^{-\frac{4}{3}}$ 더보기정답 ①

최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$에 대하여 함수 $$g(x) = \left |f \left( \dfrac{2}{1 + e^{-x}} \right) \right |$$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하고 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $g(x)$는 $x=0$에서 극소이고, $g(0) > 0$이다.(나) $g'(\ln 3) $g(0)$의 최솟값을 $\dfrac{q}{p}$라 할 때, $p + q$의 값을 구하시오. (단, $p$과 $q$는 서로소인 자연수이다.) 더보기정답 $25$

매개변수 $t$ ($t > 0$)으로 나타내어진 곡선 $$x = \mathrm{e}^{2t - 2}, \quad y = \dfrac{\ln t}{t}$$ 에서 $t = 1$일 때, $\dfrac{dy}{dx}$의 값은?① $\dfrac{1}{6}$ ② $\dfrac{1}{3}$ ③ $\dfrac{1}{2}$ ④ $\dfrac{2}{3}$ ⑤ $\dfrac{5}{6}$ 더보기정답 ③

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$가 역함수 $g(x)$를 갖고, 모든 실수 $x$에 대하여 $$e^{2f(x)} - e^{f(2x)} -2e^{3x} =0$$ 을 만족시킬 때, $g'(f(0))$의 값을 구하시오.① $\dfrac{1}{6}$ ② $\dfrac{1}{3}$ ③ $\dfrac{1}{2}$ ④ $\dfrac{2}{3}$ ⑤ $\dfrac{5}{6}$ 더보기정답 ④