수악중독

개념정리 1. 수열의 뜻 2. 등차수열 - 일반항 및 등차중항 3. 등차수열의 합 4. 등비수열의 일반항 & 등비중항 5. 등비수열의 합 6. 합의 기호 $\left ( \sum \right )$의 뜻과 성질 7. 자연수 거듭제곱의 합 8. 분수로 표시된 수열의 합 9. 수열의 합과 일반항과의 관계 10. (보너스) 등차수열, 등비수열의 합과 일반항과의 관계 11. (보너스) 군수열 12. 수열의 귀납적 정의 13. (보너스) 귀납적 정의로부터 일반항 구하기 14. 수학적 귀납법 15. (보너스) 조화수열 유형정리 1. 등차수열과 등비수열의 일반항 2. 등차중항과 등비중항 3. 등차수열의 합 4. 등비수열의 합 5. 합의 기호 $\sum$ & $\sum$ 의 성질 6. 자연수 거듭제곱의 합 7. 여러 가..

$1$ 부터 $10$ 까지의 자연수를 일렬로 배열할 때, 다음 두 가지 조건을 만족하는 방법의 수를 구하여라. (가) $1 \le i \le 9$ 일 때, ($i$ 번째의 수) $\ge i$ (나) ($10$ 번째의 수) $\le 10$ 정답 $512$

모든 항이 양수인 수열 \(\{a_n\}\) 은 \(a_1 = \dfrac{1}{4}\) 이고 \[ (n+1)a_n=a_{n+1}(3n-2a_n) \; ( n \ge 1)\] 을 만족시킨다. 다음은 일반항 \(a_n\) 을 구하는 과정이다. 주어진 식의 양변을 \(a_n a_{n+1}\) 로 나누면 \(\dfrac{n+1}{a_{n+1}}=\dfrac{3n-2a_n}{a_n}\)이다. \(b_n=\dfrac{n}{a_n}\) 이라 하면 \(b_{n+1}=3b_n + (가) \)이고, \(b_{n+1}-1=3(b_n-1)\) 이다.\(b_1=4\) 이므로 \(b_n= (나)\) \(b_n = (나) +1\)이다. 그러므로 \(a_n=\dfrac{n}{(나)+1} \; (n\ge 1)\)이다. 위의 (가)에..

다음 조건을 만족시키는 모든 수열 \(\{a_n\}\) 에 대하여 \(m\) 의 최댓값은? (단, \(m\) 은 자연수이다.) (가) \(a_{1}=100\) (나) 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 \(a_n-a_{n+1}=m\) (다) \(k \leq m\) 인 모든 자연수 \(k\) 에 대하여 \(\sum \limits_{n=1}^{k}a_n>0\) 이다. ① \(14\) ② \(15\) ③ \(16\) ④ \(17\) ⑤ \(18\) 정답 ①

\(a_1=2,\; a_{n+1}=10a_n+81\;(n=1,\;2,\;3,\;\cdots)\) 로 정의된 수열 \(\{a_n\}\) 이 있다. 이때, \(a_{10}\) 의 각 자리의 수의 합은? ① \(68\) ② \(70\) ③ \(72\) ④ \(74\) ⑤ \(76\) 정답 ④

첫째항이 \(1\) 인 수열 \(\{a_n\}\) 에 대하여 \(S_n=\sum \limits_{k=1}^{n}a_k\) 라 할 때, \[nS_{n+1} =(n+2)S_n +(n+1)^3 \;\; (n \geq 1)\] 이 성립한다. 다음은 수열 \(\{a_n\}\) 의 일반항을 구하는 과정의 일부이다. 자연수 \(n\) 에 대하여 \(S_{n+1}=S_n +a_{n+1}\) 이므로 \[n a_{n+1} = 2S_n +(n+1)^3 \cdots\cdots ㉠\] 이다. \(2\) 이상의 자연수 \(n\) 에 대하여 \[(n-1)a_n=2S_{n-1}+n^3 \cdots\cdots ㉡\]이고, ㉠에서 ㉡을 뺀 식으로부터 \[na_{n+1}=(n+1)a_n + (가) \] 를 얻는다. 양변을 \(n(n+1)..

수열 \(\{a_n\}\) 은 \(a_1=2\) 이고, \(S_n=\sum \limits_{k=1}^{n} a_k\) 라 할 때, \[a_{n+1}= \dfrac{S_n}{a_n}\;\; (n \geq 1) \] 을 만족시킨다. 다음은 \(S_n\) 을 구하는 과정이다. 주어진 식으로부터 \(a_2=\dfrac{S_1}{a_1}=1\) 이다. \(n\geq 3\) 일 때, \(a_n = \dfrac{S_{n-1}}{a_{n-1}}=\dfrac{S_{n-2}+a_{n-1}}{a_{n-1}}=\dfrac{a_{n-2}a_{n-1}+a_{n-1}}{a_{n-1}}\) 이므로 \(a_n =a_{n-2}+1\) 이다. 따라서 일반항 \(a_n\) 을 구하면, 자연수 \(k\) 에 대하여 \(n=2k-1\) 일 때..

수열 \(\{a_n\}\) 은 \(a_1=4\) 이고, \[a_{n+1} = n \cdot 2^n +\sum \limits_{k=1}^{n} \dfrac{a_k}{k} \; (n \geq 1)\]을 만족시킨다. 다음은 일반항 \(a_n\) 을 구하는 과정이다. 주어진 식에 의하여 \[a_n =(n-1) \cdot 2^{n-1} + \sum \limits_{k=1}^{n-1} \dfrac{a_k}{k} \;(n \geq 2)\] 이다. 따라서 \(2\) 이상의 자연수 \(n\) 에 대하여 \(a_{n+1}-a_n=(가)+\dfrac{a_n}{n} \) 이므로 \(a_{n+1}= \dfrac{(n+1)a_n}{n}+(가)\) 이다. \(b_n=\dfrac{a_n}{n}\) 이라 하면 \(b_{n+1}=b_n..

좌표평면 위의 원점 \(\rm O\) 와 점 \({\rm P_1}(1,\;0)\) 이 있다. 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 점 \({\rm P}_n (x_n ,\; y_n)\) 은 다음 조건을 만족시킨다. (가) 동경 \({\rm OP}_n\) 이 나타내는 각의 크기는 \(\dfrac{n-1}{3}\pi\) 이다. (나) \[\overline {{\rm{O}}{{\rm{P}}_{n + 1}}} = \left\{ {\begin{array}{ll} {\dfrac{1}{2}\overline {{\rm{O}}{{\rm{P}}_n}} }&{\left( {{y_n} > 0} \right)}\\[12pt] {\overline {{\rm{O}}{{\rm{P}}_n}} }&{\left( {{y_n} = 0} \rig..

그림과 같은 수도관은 물을 흘려보내면 유실되는 물이 없이 왼쪽으로 \(a%\), 오른쪽으로 \(b%\) 가 흐른다. 일정한 양의 물을 흘려보낸 후 물통 \(A, \;B,\;C,\;D,\;D\) 의 물의 양을 측정하면 물통 \(B, \;C,\;D\) 순으로 등비수열을 이룬다. \(b=p\sqrt{5}-q\) (\(p,\;q\) 는 유리수) 일 때, \(p+q\) 의 값을 구하시오. (단, \(ab \ne 0\)) 정답 \(100\)