수악중독

첫째항이 $10$ 인 수열 $\{a_n \}$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $a_n < a_{n+1} ,\;\; \sum \limits_{k=1}^{n} \left ( a_{k+1} - a_k \right ) ^2 = 2 \left ( 1- \dfrac{1}{9^n} \right )$ 을 만족시킬 때, $\lim \limits_{n \to \infty} a_n$ 의 값을 구하시오. 정답 12

자연수 $a, \; b$ 에 대하여 곡선 $y=a^{x+1}$ 과 곡선 $y=b^x$ 이 직선 $x=t\;\;(t \ge 1)$ 와 만나는 점을 각각 $\rm P, \; Q$ 라 하자. 다음 조건을 만족시키는 $a, \;b$ 의 순서쌍 $(a,\;b)$ 의 개수를 구하시오. 예를 들어, $a=4,\; b=5$ 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) $2 \le a \le 10,\;\; 2\le b \le 10$ (나) $t \ge 1$ 인 어떤 실수 $t$ 에 대하여 $\overline {\rm PQ} \le 10$ 이다. 정답 39

좌표평면 위의 점 ${\rm P}_n \;(n=1, \;2, \;3,\; \cdots)$ 은 다음 규칙을 만족시킨다. (가) 점 $\rm P_1$ 의 좌표는 $(1, \;1)$ 이다.(나) $\overline{{\rm P}_n{\rm P}_{n+1}}=1$(다) 점 ${\rm P}_{n+2}$ 는 점 ${\rm P}_{n+1}$ 을 지나고 직선 ${\rm P}_n {\rm P}_{n+1}$ 에 수직인 직선 위의 점 중 $\overline{{\rm P_1}{\rm P}_{n+2}}$ 가 최대인 점이다. 수열 $\{a_n\}$ 은 $a_1=0,\; a_2=1$ 이고, \[a_n=\overline{{\rm P_1}{\rm P}_n} \;\; (n=3,\;4,\;5,\;\cd..

양의 실수 $x$ 에 대하여 $\log x$ 의 가수를 $f(x)$ 라 하자. 다음 조건을 만족시키는 $a$ 와 $n$ 에 대하여 모든 자연수 $n$ 이 값의 합을 구하시오. (가) $f(a)=f \left( a^{2n} \right )$(나) $(n+1) \log a = 3n^2 - 4n +4$ 정답 $44$

영행렬이 아닌 두 이차정사각행렬 $A, \;B$ 가 $A+B=2E,\;\; B^2+2AB+5A=4E$ 를 만족시킬 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, $E$ 는 단위행렬이다.) ㄱ. $AB=BA$ㄴ. $B$ 의 역행렬이 존재한다.ㄷ. $BA^2 +AB^2 = -12E$ ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③

그림과 같이 한 변의 길이가 $3$ 인 정삼각형 $\rm A_1B_1C_1$ 의 무게중심을 $\rm A_2$, 점 $\rm A_2$ 를 지나는 원과 두 변 $\rm A_1B_1, \; A_1C_1$ 의 접점을 각각 $\rm B_2, \; C_2$ 라 하자. 호 $\rm A_2B_2$, 선분 $\rm B_2B_1$, 선분 $\rm B_1A_2$ 와 호 $\rm A_2C_2$, 선분 $\rm C_2C_1$, 선분 $\rm C_1 A_2$ 로 둘러싸인 부분의 모양의 도형을 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$ 이라 하자. 그림 $R_1$ 에서 삼각형 $\rm A_2B_2C_2$ 의 무게중심을 $\rm A_3$, 점 $\rm A_3$ 를 지나는 원과 두 변..

양수 $x$ 에 대하여 $\log x$ 의 지표와 가수를 각각 $f(x), \; g(x)$ 라 하고, $h(x) = x+5f(x)$ 라 하자. 두 조건 $f(m) \le f(x),\;\; g(h(m)) \le g(x)$ 를 만족시키는 자연수 $m$ 의 개수를 $p(x)$ 라 할 때, $\sum \limits_{k=1}^{10} p(2k)$ 의 값을 구하시오. 정답 $65$

모든 항이 양수인 수열 $\{a_n\}$ 은 $a_1 =10$ 이고 $(a_{n+1})^{n+1} = \dfrac{a_1 + (a_2)^2 + (a_3)^3 + \cdots + (a_n)^n}{n} \;\; (n \ge 1)$ 을 만족시킨다. 다음을 일반항 $a_n$ 을 구하는 과정의 일부이다. $b_n=(a_n)^n$ 이라 하면 $b_1=10$ 이고 주어진 식으로부터 $b_{n+1}=\dfrac{b_1 + b_2 + \cdots + b_n}{n} \;\; (n \ge 1)$이다. $S_n = \sum \limits_{k=1}^{n} b_k$ 라 하면 $S_{n+1} = (가) \times S_n$이다. $s_1 = 10$, \( S_n = S_1 \times \df..

그림과 같이 한 변의 길이가 $6$ 인 정삼각형 $\rm ABC$ 가 있다. 정삼각형 $\rm ABC$ 의 외심을 $\rm O$ 라 할 때, 중심이 $\rm A$ 이고 반지름의 길이가 $\overline{\rm AO}$ 인 원을 $O_{\rm A}$ , 중심이 $\rm B$ 이고 반지름의 길이가 $\overline{\rm BO}$ 인 원을 $O_{\rm B}$, 중심이 $\rm C$ 이고 반지름의 길이가 $\overline{\rm CO}$ 인 원을 $O_{\rm C}$ 라 하자. 원 $O_{\rm A}$ 와 원 $O_{\rm B}$ 의 내분의 공통부분, 원 $O_{\rm A}$ 와 원 $O_{\rm C}$ 의 내부의 공통부분, 원 \(O_{\r..

두 이차정사각행렬 $A, \; B$ 가 $AB-A=2E,\;\; BA^2-A^2+B=-E$ 를 만족시킬 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, $E$ 는 단위행렬이다.) ㄱ. $AB=BA$ㄴ. $2A+B=-E$ㄷ. $A+E$ 의 역행렬이 존재한다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ⑤