수악중독

숫자 \(1,1,2,2,3,3,4,4\) 가 하나씩 적혀 있는 \(8\) 장의 카드가 있다. 이 \(8\) 장의 카드 중 \(6\) 장의 카드를 선택한 후, 선택한 \(6\) 장의 카드를 모두 한 번씩 사용하여 그림과 같은 \(6\) 개의 자리에 각각 한 장씩 놓으려고 한다. 다음 조건을 만족시키도록 놓는 경우의 수는? (단, 같은 숫자가 적혀 있는 카드끼리는 서로 구별하지 않는다.) \(1\) 번째 자리에 놓인 카드에 적혀 있는 수는 짝수이다.① \(540\) ② \(630\) ③ \(720\) ④ \(810\) ⑤ \(900\) 더보기정답 ③

열린구간 \(\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)\) 에서 정의된 함수 \[f(x)=x\tan x-\ln(\sec x)\] 가 있다. \(0① \(\dfrac{\pi^2+2\pi}{8}\) ② \(\dfrac{\pi^2+\pi}{4}\) ③ \(\dfrac{\pi^2+2\pi}{4}\) ④ \(\dfrac{\pi^2+\pi}{2}\) ⑤ \(\dfrac{\pi^2+2\pi}{2}\) 더보기정답 ③

두 초점이 \(\mathrm{F}(c,0)\), \(\mathrm{F}'(-c,0)\ (c>0)\) 인 타원 \(C\) 가 있다. 타원 \(C\) 위에 있는 제1사분면 위의 점 \(\mathrm{P}\) 에 대하여 직선 \(\mathrm{F}'\mathrm{P}\) 위에 점 \(\mathrm{Q}\) 를 선분 \(\mathrm{F}'\mathrm{Q}\) 의 길이와 타원 \(C\) 의 장축의 길이가 같도록 잡을 때, 직선 \(\mathrm{FQ}\) 가 타원 \(C\) 와 만나는 점 중 \(y\) 좌표가 음수인 점을 \(\mathrm{R}\) 이라 하자. 직선 \(\mathrm{F}'\mathrm{P}\) 의 기울기가 \(3\sqrt{7}\) 이고, \(\angle \mathrm{FF}'\mathrm{P..

확률변수 \(X\) 는 정규분포 \(\mathrm{N}(m_1,10^2)\) 을 따르고, 확률변수 \(Y\) 는 정규분포 \(\mathrm{N}(m_2,10^2)\) 을 따른다. 확률변수 \(X\) 의 확률밀도함수 \(f(x)\) 와 확률변수 \(Y\) 의 확률밀도함수 \(g(x)\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(f(x) \le f(4)\) 이다.(나) \(f(5)=g(15)\)\(\mathrm{P}(1 \le X \le 2)+\mathrm{P}(7 \le X \le 9)=\mathrm{P}(11 \le Y \le 14)\) 일 때, \(\mathrm{P}(Y \ge 20)\) 의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 값이 \(k\) 이다. \(1000 \..

어떤 자연수 \(k\) 에 대하여 첫째항과 공차가 모두 정수인 등차수열 \(\{a_n\}\) 과 첫째항이 \(72\) 이고 공비가 \(r\ (r \neq 0)\) 인 등비수열 \(\{b_n\}\) 이 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(a_k = b_3, \quad a_{k+27} = b_4\)(나) \(\displaystyle\sum_{n=k}^{\infty} b_n = a_{k+15}\) \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{b_n}{k^n} = \dfrac{q}{p}\) 일 때, \(p+q\) 의 값을 구하시오.(단, \(p\) 와 \(q\) 는 서로소인 자연수이다.) 더보기정답 $155$

그림과 같이 \(\mathrm{\overline{AB}}=6\), \(\mathrm{\overline{AD}}=6\), \(\mathrm{\overline{AE}}=3\) 인 직육면체 \(\mathrm{ABCD}-\mathrm{EFGH}\) 가 있다. 선분 \(\mathrm{AB}\) 를 \(2:1\) 로 내분하는 점을 \(\mathrm{P}\), 선분 \(\mathrm{AD}\) 를 \(1:2\) 로 내분하는 점을 \(\mathrm{Q}\) 라 하자. 선분 \(\mathrm{EH}\) 위의 점 \(\mathrm{R}\) 과 선분 \(\mathrm{FG}\) 위의 점 \(\mathrm{S}\) 에 대하여 두 직선 \(\mathrm{RS}\), \(\mathrm{EF}\) 는 서로 평행하다. 삼각형 \(\..

사차함수 \(f(x)=x^4-10x^3+ax^2+bx\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \[f(4)-f(1)=f'(1)\times(x-1)-f'(4)\times(x-4)\]이다.(나) 실수 \(t\) 에 대하여 직선 \(y=k(x-t)+f(t)\) 가 곡선 \(y=f(x)\) 에 접하도록 하는 실수 \(k\) 중에서 \(|k|\) 의 최솟값을 \(g(t)\) 라 하면 \(g(0)=0\) 이다. \(f\!\left(\dfrac{7}{2}\right) ① \(5\) ② \(10\) ③ \(15\) ④ \(20\) ⑤ \(25\) 더보기정답 ④

최고차항의 계수가 \(1\) 인 삼차함수 \(f(x)\) 가 \(x=2\) 에서 극솟값 \(\dfrac{5}{2}\) 를 갖는다. \(t \ge 2\) 인 모든 실수 \(t\) 에 대하여 \[\int_0^t |f'(x)|\,dx = f(t)+f(0)\]일 때, \(f(0)=\dfrac{q}{p}\) 이다. \(p+q\) 의 값을 구하시오. (단, \(p\) 와 \(q\) 는 서로소인 자연수이다.) 더보기정답 $3$

모든 항이 자연수이고 다음 조건을 만족시키는 모든 수열 \(\{a_n\}\) 에 대하여 \(a_1\) 의 값의 합을 구하시오. (가) 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 $$ a_{n+1} =\begin{cases}\dfrac{1}{2}(a_n+1)+n & (a_n \text{이 홀수인 경우}) \\[10pt] a_n+n & (a_n \text{이 짝수인 경우})\end{cases}$$ 이다.(나) \(a_3 = a_6\) 더보기정답 $202$

주머니 \(\mathrm{A}\) 에는 숫자 \(1\) 이 적힌 공 \(3\) 개, 숫자 \(2\) 가 적힌 공 \(2\) 개가 들어 있고, 주머니 \(\mathrm{B}\) 에는 숫자 \(1\) 이 적힌 공 \(4\) 개, 숫자 \(2\) 가 적힌 공 \(1\) 개가 들어 있다. 두 주머니 \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\) 를 이용하여 다음 시행을 한다. 두 주머니 \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\) 에서 각각 공을 임의로 한 개씩 꺼내어 꺼낸 두 개의 공에 적힌 수를 확인한 후 다시 넣지 않는다. 이 시행을 \(2\) 번 반복할 때, 첫 번째 시행에서 확인한 두 수 중 크지 않은 수를 \(a_1\), 두 번째 시행에서 확인한 두 수 중 크지 않은 수를 \(a_..