수악중독

좌표공간의 세 점 ${\rm A}(-1, \; 0, \; 6)$, ${\rm B}(2, \; - \sqrt{3}, \; 0)$, ${\rm C}(3, \; 0, \; 0)$ 에 대하여 두 점 $\rm P, \; Q$ 가 $$\left | \overrightarrow{\rm AP} \right |=2, \;\; \left | \overrightarrow{\rm CQ} \right | = 2\sqrt{3}, \;\; \overrightarrow{\rm BC} \cdot \overrightarrow{\rm CQ}=6$$ 을 만족시킨다. $\left | \overrightarrow{\rm PQ} \right |$ 의 최댓값을 구하시오. 정답 $12$

실수 전체의 집합에서 미분가능한 두 함수 $f(x), \; g(x)$ 가 모든 실수 $x$ 에 대하여 다음 조건을 만족시킨다. (가) $g(x+1)-g(x) = - \pi (e+1)e^x \sin(\pi x)$ (나) $g(x+1)=\displaystyle \int_0^x \left \{ f(t+1)e^t - f(t)e^t +g(t) \right \} dt$ $\displaystyle \int_0^1 f(x) dx = \dfrac{10}{9}e +4$ 일 때, $\displaystyle \int_1^{10} f(x) dx$ 의 값을 구하시오. 정답 $26$

그림과 같이 좌표평면 위의 세 점 ${\rm A} \left (0, \; 2+2\sqrt{2} \right )$, ${\rm B}(-2, \; 0)$, ${\rm C}(2, \; 0)$ 을 꼭짓점으로 하는 삼각형 $\rm ABC$ 가 있다. 점 $\rm B$ 에서 선분 $\rm AC$ 에 내린 수선의 발을 $\rm D$, 점 $\rm C$ 에서 선분 $\rm AB$ 에 내린 수선의 발을 $\rm E$, 선분 $\rm BD$ 와 선분 $\rm CE$ 가 만나는 점을 $\rm F$ 라 할 때, 사각형 $\rm AEFD$ 의 둘레의 길이를 $l$ 이라 하자. $l^2 = a+b\sqrt{2}$ 일 때, $a+b$ 의 값을 구하시오. (단, $a$ 와 $b$ 는 자연수이다.)정답 $96$

좌표공간에서 원점 $\rm O$ 와 점 $\rm A(4, \; 0, \; 0)$ 에 대하여 평면 $x+y+\sqrt{2}z=0$ 위의 점 $\rm P$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\left | \overrightarrow{\rm OP} \right |$ 는 $9$ 이하의 자연수이다.(나) $\overrightarrow{\rm OA} \cdot \overrightarrow{\rm AP} = 6$ $\overrightarrow{\rm AP} \cdot \overrightarrow{\rm OP}$ 의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$ 이라 할 때, $M+m$ 의 값을 구하시오. 정답 $86$

좌표평면에서 두 점 $\rm A(-2, \; 0)$, $\rm B(2, \; 0)$ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 직사각형의 넓이의 최댓값은? 직사각형 위를 움직이는 점 $\rm P$ 에 대하여 $\overline{\rm PA} + \overline{\rm PB}$ 의 값은 점 $\rm P$ 의 좌표가 $(0, \; 6)$ 일 때 최대이고, $\left ( \dfrac{5}{2}, \; \dfrac{3}{2} \right )$ 일 때 최소이다. ① $\dfrac{200}{19}$ ② $\dfrac{210}{19}$ ③ $\dfrac{220}{19}$ ④ $\dfrac{230}{19}$ ⑤ $\dfrac{240}{19}$ 정답 ⑤

최고차항의 계수가 $1$ 인 사차함수 $f(x)$ 에 대하여 네 개의 수 $f(-1), \; f(0), \; f(1), \; f(2)$ 가 순서대로 등차수열을 이루고, 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(-1, \; f(-1))$ 에서의 접선과 점 $(2, \; f(2))$ 에서의 접선이 점 $(k, \;0)$ 에서 만난다. $f(2k) = 20$ 일 때, $f(4k)$ 의 값을 구하시오. (단, $k$ 는 상수이다.) 정답 $42$

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$ 에 대하여 $$f' \left (x^2 +x+1 \right ) = \pi f(1) \sin \pi x + f(3)x + 5x^2$$ 을 만족시킬 때, $f(7)$ 의 값을 구하시오. 정답 $93$

중심이 $\rm O$ 이고 반지름의 길이가 $1$ 인 원이 있다. 양수 $x$ 에 대하여 원 위의 서로 다른 세 점 $\rm A, \; B, \; C$ 가 $$x \overrightarrow{\rm OA} + 5 \overrightarrow{\rm OB} + 3 \overrightarrow{\rm OC}= \overrightarrow{0}$$ 를 만족시킨다. $\overrightarrow{\rm OA} \cdot \overrightarrow{\rm OB}$ 의 값이 최대일 때, 삼각형 $\rm ABC$ 의 넓이를 $S$ 라 하자. $50S$ 의 값을 구하시오. 정답 $60$

$x=-3$ 과 $x=a\; (a>-3)$ 에서 극값을 갖는 삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $$g(x)= \begin{cases} f(x) & (x

$x=a$ $(a>0)$ 에서 극댓값을 갖는 사차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 가 $$g(x)=\begin{cases} \dfrac{1-\cos \pi x}{f(x)} & (f(x) \ne 0) \\[10pt] \dfrac{7}{128}\pi^2 & (f(x)=0) \end{cases}$$ 일 때, 함수 $g(x)$ 는 실수 전체의 집합에서 미분가능하고 다음 조건을 만족시킨다. (가) $g'(0) \times g'(2a) \ne 0$(나) 함수 $g(x)$ 는 $x=a$ 에서 극값을 갖는다. $g(1)=\dfrac{2}{7}$ 일 때, $g(-1) = \dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 정답 $95$