수악중독

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $$ f(x) = \begin{cases} 5 & (x\text{가 자연수가 아닌 경우}) \\[5pt] \dfrac{1}{x} & (x\text{가 자연수인 경우}) \end{cases} $$ 에 대하여, $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \dfrac{f(\sqrt[3]{k})}{5f(k)}$의 값이 자연수가 되도록 하는 $300$ 이하의 자연수 $n$의 개수는? ① $135$ ② $144$ ③ $153$ ④ $162$ ⑤ $171$ 더보기정답 ⑤

$0 \le x \le 2\pi$에서 정의된 두 함수 $$ f(x) = \sin x, \quad g(x) = -k\cos x \quad (k>1) $$이 있다. 두 곡선 $y=f(x)$와 $y=g(x)$가 제1사분면에서 만나는 점을 $\mathrm{A}$, 제4사분면에서 만나는 점을 $\mathrm{B}$라 하자. 점 $\mathrm{A}$를 지나고 $x$축에 평행한 직선이 곡선 $y=g(x)$와 만나는 점 중 $\mathrm{A}$가 아닌 점을 $\mathrm{C}$라 하고, 점 $\mathrm{B}$를 지나고 $x$축에 평행한 직선이 곡선 $y=g(x)$와 만나는 점 중 $\mathrm{B}$가 아닌 점을 $\mathrm{D}$라 하자. 다음은$$ (\text{삼각형 } \mathrm{CDB} \te..

그림과 같이 문자 $\mathrm{A}$ 가 적힌 3장의 카드와 문자 $\mathrm{B}$ 가 적힌 3장의 카드가 1번째 자리에서부터 차례로 $\mathrm{A, A, A, B, B, B}$가 보이도록 놓여 있다. 이 6장의 카드와 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다. 주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 $k$ 일 때, $k \leq 5$ 이면 $k$ 번째 자리에 놓여 있는 카드와 $(k+1)$ 번째 자리에 놓여 있는 카드를 서로 바꾸어 놓고, $k = 6$ 이면 놓여 있는 6장의 카드를 그대로 둔다. 이 시행을 4번 반복한 후 6장의 카드가 1번째 자리에서부터 차례로 $\mathrm{A, A, A, B, B, B}$가 보이도록 놓여 있을 때, 3번째 시행에서 나온 눈의 수가 ..

점 $\mathrm{O}$를 중심으로 하고 반지름의 길이가 $2$인 원 $C$가 있다. $\overline{\mathrm{OA}}=5$인 점 $\mathrm{A}$에 대하여 선분 $\mathrm{OA}$와 원 $C$가 만나는 점을 $\mathrm{B}$라 하자. 점 $\mathrm{A}$를 지나고 점 $\mathrm{O}$를 지나지 않는 직선이 원 $C$와 서로 다른 두 점에서 만날 때, 두 점을 $\mathrm{P}, \mathrm{Q} (\overline{\mathrm{AP}} \le \overline{\mathrm{AQ}})$라 하자. 점 $\mathrm{Q}$를 포함하지 않는 호 $\mathrm{BP}$와 두 선분 $\mathrm{AB}, \mathrm{AP}$로 둘러싸인 도형의 넓이를 $t$라 ..

좌표공간에 점 $\mathrm{O}$를 중심으로 하고 반지름의 길이가 $3$인 구 $\mathrm{S}$ 위의 서로 다른 네 점 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}$가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 직선 $\mathrm{OD}$와 평면 $\mathrm{ABC}$는 서로 평행하다. (나) $\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{AC}}=\overline{\mathrm{BC}}=\overline{\mathrm{BD}} =\overline{\mathrm{CD}}$ 삼각형 $\mathrm{OAB}$의 평면 $\mathrm{OAC}$ 위의 정사영의 넓이는? ① $\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$ ..

최고차항의 계수가 $1$인 이차함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킬 때, $f(2)$의 값은? 모든 실수 $a$에 대하여 $\displaystyle \lim_{x \to a} \dfrac{(2x+1)f(x)}{f(x)+f(x-t)}$의 값이 존재하도록 하는 양수 $t$의 집합은 $\left\{ t \left | \; t \ge \dfrac{3}{2} \right . \right\}$이다. ① $\dfrac{5}{2}$ ② $5$ ③ $\dfrac{15}{2}$ ④ $10$ ⑤ $\dfrac{25}{2}$ 더보기정답 ④

다음 조건을 만족시키는 자연수 $a, b, c, d$의 모든 순서쌍 $(a, b, c, d)$의 개수를 구하시오. (가) $a+b+c+d=14$ (나) $10a \ge d$ 이고 $c 더보기정답 $190$

수열 $\{a_n\}$은 등비수열이고, 수열 $\{b_n\}$을 모든 자연수 $n$에 대하여 $$ b_n = \begin{cases} a_n - a_1 & (|a_n| \ge 10) \\ (a_n)^2 & (|a_n| (가) $(b_2)^2 = 36 b_3$ (나) 급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_n$은 수렴하고 그 합은 $12$이다. $a_1>0$이고 $a_2 더보기정답 $81$

두 초점이 $\mathrm{F}(c,0)$, $\mathrm{F}'(-c,0)$ $(c>0)$인 쌍곡선 $$ \dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \quad (b>0) $$이 있다. 점 $\mathrm{P}(0,p)$ $(p>0)$에 대하여 이 쌍곡선과 두 선분 $\mathrm{PF}$, $\mathrm{PF}'$이 만나는 점을 각각 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$라 할 때, 두 초점이 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$인 타원이 두 점 $\mathrm{F}, \mathrm{P}$를 지난다. 점 $\mathrm{P}$를 지나고 $x$축에 평행한 직선이 직선 $\mathrm{AF}'$과 만나는 점을 $\mathrm{C}$라 하자. $\angle \mat..

최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킬 때, $f(0)$의 최댓값과 최솟값의 곱을 구하시오. (가) 방정식 $f(x)=0$의 서로 다른 실근의 개수는 $2$이다.(나) $g(x) = \begin{cases} -f(x) & (f(x) \ge 0) \\ 7f(x) & (f(x) 더보기정답 $12$