수악중독

그림과 같이 \(\mathrm{\overline{AB}}=6\), \(\mathrm{\overline{AD}}=6\), \(\mathrm{\overline{AE}}=3\) 인 직육면체 \(\mathrm{ABCD}-\mathrm{EFGH}\) 가 있다. 선분 \(\mathrm{AB}\) 를 \(2:1\) 로 내분하는 점을 \(\mathrm{P}\), 선분 \(\mathrm{AD}\) 를 \(1:2\) 로 내분하는 점을 \(\mathrm{Q}\) 라 하자. 선분 \(\mathrm{EH}\) 위의 점 \(\mathrm{R}\) 과 선분 \(\mathrm{FG}\) 위의 점 \(\mathrm{S}\) 에 대하여 두 직선 \(\mathrm{RS}\), \(\mathrm{EF}\) 는 서로 평행하다. 삼각형 \(\..

사차함수 \(f(x)=x^4-10x^3+ax^2+bx\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \[f(4)-f(1)=f'(1)\times(x-1)-f'(4)\times(x-4)\]이다.(나) 실수 \(t\) 에 대하여 직선 \(y=k(x-t)+f(t)\) 가 곡선 \(y=f(x)\) 에 접하도록 하는 실수 \(k\) 중에서 \(|k|\) 의 최솟값을 \(g(t)\) 라 하면 \(g(0)=0\) 이다. \(f\!\left(\dfrac{7}{2}\right) ① \(5\) ② \(10\) ③ \(15\) ④ \(20\) ⑤ \(25\) 더보기정답 ④

최고차항의 계수가 \(1\) 인 삼차함수 \(f(x)\) 가 \(x=2\) 에서 극솟값 \(\dfrac{5}{2}\) 를 갖는다. \(t \ge 2\) 인 모든 실수 \(t\) 에 대하여 \[\int_0^t |f'(x)|\,dx = f(t)+f(0)\]일 때, \(f(0)=\dfrac{q}{p}\) 이다. \(p+q\) 의 값을 구하시오. (단, \(p\) 와 \(q\) 는 서로소인 자연수이다.) 더보기정답 $3$

모든 항이 자연수이고 다음 조건을 만족시키는 모든 수열 \(\{a_n\}\) 에 대하여 \(a_1\) 의 값의 합을 구하시오. (가) 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 $$ a_{n+1} =\begin{cases}\dfrac{1}{2}(a_n+1)+n & (a_n \text{이 홀수인 경우}) \\[10pt] a_n+n & (a_n \text{이 짝수인 경우})\end{cases}$$ 이다.(나) \(a_3 = a_6\) 더보기정답 $202$

주머니 \(\mathrm{A}\) 에는 숫자 \(1\) 이 적힌 공 \(3\) 개, 숫자 \(2\) 가 적힌 공 \(2\) 개가 들어 있고, 주머니 \(\mathrm{B}\) 에는 숫자 \(1\) 이 적힌 공 \(4\) 개, 숫자 \(2\) 가 적힌 공 \(1\) 개가 들어 있다. 두 주머니 \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\) 를 이용하여 다음 시행을 한다. 두 주머니 \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\) 에서 각각 공을 임의로 한 개씩 꺼내어 꺼낸 두 개의 공에 적힌 수를 확인한 후 다시 넣지 않는다. 이 시행을 \(2\) 번 반복할 때, 첫 번째 시행에서 확인한 두 수 중 크지 않은 수를 \(a_1\), 두 번째 시행에서 확인한 두 수 중 크지 않은 수를 \(a_..

두 상수 \(a\ (a>0)\), \(b\) 에 대하여 두 함수 $f(x)=-\sin(ax)+b+1, \; g(x)=(x-b)^2$이 $$\int_0^{2\pi} \left| g'(f(x))f'(x) \right| dx = \dfrac{5}{4},$$ $$\int_b^{b+1} f(g(x))g'(x)\,dx = \dfrac{\cos a}{a}$$를 만족시킨다. \(f(2\pi)=\dfrac{q}{p}\) 일 때, \(p+q\) 의 값을 구하시오. (단, \(p\) 와 \(q\) 는 서로소인 자연수이다.) 더보기정답 $29$

좌표평면에서 \(\mathrm{\overline{AB}}=\mathrm{\overline{AC}}=3\) 인 예각삼각형 \(\mathrm{ABC}\) 와 선분 \(\mathrm{AC}\) 위의 점 \(\mathrm{P}\), 직선 \(\mathrm{BP}\) 위의 점 \(\mathrm{Q}\) 가 $$5\mathrm{\overrightarrow{BP}}=2\mathrm{\overrightarrow{BA}}+3\mathrm{\overrightarrow{BC}}, \quad \mathrm{\overrightarrow{AP}} \cdot \mathrm{\overrightarrow{PQ}} = \mathrm{\overrightarrow{CP}} \cdot \mathrm{\overrightarrow{PB}}, \..

$1$부터 $7$까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 $7$개의 빈 상자와 \(\mathrm{A, B, C, D, E}\) 의 문자가 하나씩 적혀 있는 $5$개의 공이 있다. 그림과 같이 상자에 적힌 수가 작은 수부터 크기순으로 왼쪽에서 오른쪽으로 일렬로 배열되도록 $7$개의 빈 상자가 놓여 있다. 각 상자에 들어 있는 공의 개수가 $2$ 이하가 되도록 공을 상자에 남김없이 나누어 넣을 때, 다음 조건을 만족시키는 경우의 수는? (단, 공을 넣는 순서는 고려하지 않는다.) (가) \(1 \leq n \leq 5\) 인 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 숫자 \(n\), \(n+1\), \(n+2\)가 적힌 세 상자 중 적어도 $1$ 개의 상자에는 $2$ 개의 공이 들어 있다.(나) $2$ 개의 공이 들어..

21. 두 실수 \(a, b\)에 대하여 두 이차함수 \(f(x), g(x)\)가 \[f(x) = \dfrac{1}{4}(x - a)^2 + 2, \quad g(x) = -\dfrac{1}{4}(x - b)^2 + 6\] 이다. 양수 \(t\)와 두 함수 \(f(x), g(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다. \(x\)에 대한 방정식 \((f(x)-6)(g(x)-2)=0\)의 서로 다른 실근은 \(-3, -3 + t, -3 + 2t\)뿐이다.\(g(0)>0\)일 때, \(f(t)+g(t)\)의 값은?① \(-12\) ② \(-10\) ③ \(-8\) ④ \(-6\) ⑤ \(-4\) 더보기정답 ⑤

$x$에 대한 연립부등식 $$\begin{cases}|x-a| \le 2 \\x^2 + (a^2 - 5)x - 5a^2 \le 0\end{cases}$$을 만족시키는 정수 $x$의 개수가 $5$가 되도록 하는 모든 자연수 $a$의 값의 합을 구하시오. 더보기정답 $6$