수악중독

${}_{2n}{\rm C}_2 = \dfrac{(2n)!}{(2n-2)! \times 2!} = \dfrac{2n(2n-1)}{2} = 2n^2-n$ $2 \times {}_n{\rm C}_2 + n^2 = 2 \times \dfrac{n!}{(n-2)! \times 2!} +n^2 = n(n-1)+n^2=2n^2-n$ 쉽게 좌변과 우변이 같다는 것을 보일 수 있다. 이걸 이렇게 생각해 볼 수도 있다. $2n$ 명 중에서 두 명을 뽑는 경우의 수를 구한다고 가정하면, 다음의 세 가지 경우로 나누어 볼 수 있다. 일단 $2n$ 명을 $n$ 명 $n$ 명의 두 그룹 A, B 로 나눈다. 1) A 그룹에서만 두 명을 뽑는 경우 2) B 그룹에서만 두 명을 뽑는 경우 3) A 그룹에서 한 명, B 그룹에서 한..

곡선 $y=| \log_2 (-x) |$ 를 $y$ 축에 대하여 대칭이동한 후 $x$ 축의 방향으로 $k$ 만큼 평행이동한 곡선을 $y=f(x)$ 라 하자. 곡선 $y=f(x)$ 와 곡선 $y=|\log_2 (-x+8)|$ 이 세 점에서 만나고 세 교점의 $x$ 좌표의 합이 $18$ 일 때, $k$ 의 값은? ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$ 더보기 정답 ④

사차함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $f(2)$ 의 값은? (가) $f(0)=2$ 이고, $f'(4)=-24$ 이다. (나) 부등식 $xf'(x)>0$ 을 만족시키는 모든 실수 $x$ 의 값의 범위는 $1

자연수 $n$ 에 대하여 직선 $x=n$ 이 직선 $y=x$ 와 만나는 점을 ${\rm P}_n$, 곡선 $y=\dfrac{1}{20} x \left ( x +\dfrac{1}{3} \right )$ 과 만나는 점을 ${\rm Q}_n$, $x$ 축과 만나는 점을 ${\rm R}_n$ 이라 하자. 두 선분 ${\rm P}_n {\rm Q}_n$, ${\rm Q}_n{\rm R}_n$ 의 길이 중 작은 값을 $a_n$ 이라 할 때, $\sum \limits_{n=1}^{10} a_n$ 의 값은? ① $\dfrac{115}{6}$ ② $\dfrac{58}{3}$ ③ $\dfrac{39}{2}$ ④ $\dfrac{59}{3}$ ⑤ $\dfrac{119}{6}$ 더보기 정답 ⑤

함수 $$f(x)=\begin{cases} x^2+1 & (x \le 2) \\ ax+b & (x>2) \end{cases}$$ 에 대하여 $f(\alpha) + \lim \limits_{x \to \alpha+} f(x)=4$ 를 만족시키는 실수 $\alpha$ 의 개수가 $4$ 이고, 이 네 수의 합이 $8$ 이다. $a+b$ 의 값은? (단, $a, \; b$ 는 상수이다.) ① $-\dfrac{7}{4}$ ② $-\dfrac{5}{4}$ ③ $-\dfrac{3}{4}$ ④ $-\dfrac{1}{4}$ ⑤ $\dfrac{1}{4}$ 더보기 정답 ①

그림과 같이 중심이 $\rm O_1$ 이고 반지름의 길이가 $r\; (r>3)$ 인 원 $C_1$ 과 중심이 $\rm O_2$ 이고 반지름의 길이가 $1$ 인 원 $C_2$ 에 대하여 $\overline{\rm O_1O_2}=2$ 이다. 원 $C_1$ 위를 움직이는 점 $\rm A$ 에 대하여 직선 $\rm AO_2$ 가 원 $C_1$ 과 만나는 점 중 $\rm A$ 가 아닌 점을 $\rm B$ 라 하자. 원 $C_2$ 위를 움직이는 점 $\rm C$ 에 대하여 직선 $\rm AC$ 가 원 $C_1$ 과 만나는 점 중 $\rm A$ 가 아닌 점을 $\rm D$ 라 하자. 다음은 $\overline{\rm BD}$ 가 최대가 되도록 네 점 $\rm A, \; B, \; C, \; D$ 를 정할 때, $\o..

최고차항의 계수가 $1$ 인 이차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)=\begin{cases} f(x) & (x

함수 $$f(x) = \left | 2a \cos \dfrac{b}{2}x - (a-2)(b-2) \right |$$ 가 다음 조건을 만족시키도록 하는 $10$ 이하의 자연수 $a, \; b$ 의 모든 순서쌍 $(a, \; b)$ 의 개수는? (가) 함수 $f(x)$ 는 주기가 $\pi$ 인 주기함수이다. (나) $0 \le x \le 2\pi$ 에서 함수 $y=f(x)$ 의 그래프와 직선 $y=2a-1$ 의 교점의 개수는 $4$ 이다. ① $11$ ② $13$ ③ $15$ ④ $17$ ⑤ $19$ 더보기 정답 ⑤

원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 $\rm P$ 의 시각 $t \; (t \ge 0)$ 에서의 속도는 $$v(t)=|at-b|-4 \quad (a>0, \; b>4)$$ 이다. 시각 $t=0$ 에서 $t=k$ 까지 점 $\rm P$ 가 움직인 거리를 $s(k)$, 시각 $t=0$ 에서 $t=k$ 까지 점 $\rm P$ 의 위치의 변화량을 $x(k)$ 라 할 때, 두 함수 $s(k), \; x(k)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $0 \le k

등차수열 $\{a_n\}$ 이 다음 조건을 만족시킨다. (가) $a_6 + a_7 = -\dfrac{1}{2}$ (나) $a_l+a_m=1$ 이 되도록 하는 두 자연수 $l, \; m \; (l