수악중독

수열 $\{a_n\}$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$a_n + a_{n+1}=2n$$ 을 만족시킬 때, $a_1+a_{22}$ 의 값은? ① $18$ ② $19$ ③ $20$ ④ $21$ ⑤ $22$ 더보기 정답 ⑤

최고차항의 계수가 $1$ 인 이차함수 $f(x)$ 와 $3$ 보다 작은 실수 $a$ 에 대하여 함수 $g(x)=|(x-a)f(x)|$ 가 $x=3$ 에서만 미분가능하지 않다. 함수 $g(x)$ 의 극댓값이 $32$ 일 때, $f(4)$ 의 값은? ① $7$ ② $9$ ③ $11$ ④ $13$ ⑤ $15$ 더보기 정답 ①

닫힌구간 $[0, \; 2\pi]$ 에서 정의된 함수 $f(x)$ 는 $$f(x)=\begin{cases} \sin x & \left (0 \le x \le \dfrac{k}{6}\pi \right ) \\[10pt] 2 \sin \left (\dfrac{k}{6}\pi \right ) - \sin x & \left ( \dfrac{k}{6}\pi < x \le 2\pi \right ) \end{cases}$$ 이다. 곡선 $y=f(x)$ 와 직선 $y=\sin \left (\dfrac{k}{6}\pi \right )$ 의 교점의 개수를 $a_k$ 라 할 때, $a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5$ 의 값은? ① $6$ ② $7$ ③ $8$ ④ $9$ ⑤ $10$ 더보기 정답 ④

곡선 $y=x^2-4$ 위의 점 ${\rm P} \left (t, \; t^2-4 \right )$ 에서 원 $x^2+y^2=4$ 에 그은 두 접선의 접점을 각각 $\rm A, \; B$ 라 하자. 삼각형 $\rm OAB$ 의 넓이를 $S(t)$, 삼각형 $\rm PBA$ 의 넓이를 $T(t)$ 라 할 때, $$\lim \limits_{t \to 2+} \dfrac{T(t)}{(t-2)S(t)} + \lim \limits_{t \to \infty} \dfrac{T(t)}{\left (t^4-2 \right ) S(t)}$$ 의 값은? (단, $\rm O$ 는 원점이고, $t>2$ 이다.) ① $1$ ② $\dfrac{5}{4}$ ③ $\dfrac{3}{2}$ ④ $\dfrac{7}{4}$ ⑤ $2$ 더보..

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x)$ 와 역함수가 존재하는 삼차함수 $g(x)=x^3+ax^2+bx+c$ 가 다음 조건을 만족시킨다. 모든 실수 $x$ 에 대하여 $2f(x)=g(x)-g(-x)$ 이다. 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, $a, \; b, \; c$ 는 상수이다.) ㄱ. $a^2 \le 3b$ ㄴ. 방정식 $f'(x)=0$ 은 서로 다른 두 실근을 갖는다. ㄷ. 방정식 $f'(x)=0$ 이 실근을 가지면 $g'(1)=1$ 이다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 더보기 정답 ①

모든 자연수 $n$ 에 대하여 직선 $l : x-2y + \sqrt{5}=0$ 위의 점 ${\rm P}_n$ 과 $x$ 축 위의 점 ${\rm Q}_n$ 이 다음 조건을 만족시킨다. (가) 직선 ${\rm P}_n {\rm Q}_n$ 과 직선 $l$ 이 서로 수직이다. (나) $\overline{{\rm P}_n{\rm Q}_n} = \overline{{\rm P}_n{\rm P}_{n+1}}$ 이고 점 ${\rm P}_{n+1}$ 의 $x$ 좌표는 점 ${\rm P}_n$ 의 $x$ 좌표보다 크다. 다음은 점 $\rm P_1$ 이 원 $x^2 + y^2 = 1$ 과 직선 $l$ 의 접점일 때, $2$ 이상의 모든 자연수 $n$ 에 대하여 삼각형 ${\rm OQ}_n{\rm P}_n$ 의 넓이를 구하는 ..

최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 가 $f(0)=0$ 이고, 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(1-x)=-f(1+x)$ 를 만족시킨다. 두 곡선 $y=f(x)$ 와 $y=-6x^2$ 으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $S$ 라 할 때, $4S$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $2$

$\overline{\rm AB}=6,\; \overline{\rm AC}=8$ 인 예각삼각형 $\rm ABC$ 에서 $\angle \rm A$ 의 이등분선과 삼각형 $\rm ABC$ 의 외접원이 만나는 점을 $\rm D$, 점 $\rm D$ 에서 선분 $\rm AC$ 에 내린 수선의 발을 $\rm E$ 라 하자. 선분 $\rm AE$ 의 길이를 $k$ 라 할 때, $12k$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $84$

양수 $a$ 에 대하여 최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 와 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $$|x(x-2)|g(x)=x(x-2) \left ( |f(x)|-a \right )$$ $\quad$이다. (나) 함수 $g(x)$ 는 $x=0$ 과 $x=2$ 에서 미분가능하다. $g(3a)$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $108$

집합 $X=\{x \; | \; x \text{는} \; 8 \; \text{이하의 자연수} \}$ 에 대하여 $X$ 에서 $X$ 로의 함수 $f$ 중에서 임의로 하나를 선택한다. 선택한 함수 $f$ 가 $4$ 이하의 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $f(2n-1)