수악중독

수악중독 수학 필기앱은 윈도우, 맥에서 수학 교육 영상을 제작하시거나 혹은 전자칠판을 이용하여 수업하시는 선생님들을 위한 앱입니다.또한, 아이패드나 갤럭시탭에서 수학 문제를 푸는 학생들을 위한 앱이기도 합니다.현재 저의 맥과 윈도우용 앱과 안드로이드 용 앱을 이용하실 수 있습니다.(아이패드용은 현재 개발 중에 있습니다.) 수학 전용 필기입앤 만큼 다음의 기능들을 제공합니다.- 함수식을 이용한 그래프, 그리기- latex 혹은 typst 를 이용한 수식 입력- 손으로 쓴 수식을 gemini를 이용하여 수식으로 자동 렌더링- 기본 도형 및 삼차곡선, 사차곡선을 쉽게 삽입- 정n각형, 부채꼴, 지수함수, 삼각함수, 쌍곡선 등의 stencil 제공- 구, 정사면체, 정육면체, 삼각뿔, 사각뿔, 삼각기둥 등의 ..

빈 상자 $4$개가 일렬로 놓여 있고, 검은 공 $4$개, 흰 공 $6$개가 있다. 이 $10$개의 공을 상자에 남김없이 나누어 넣을 때, 다음 조건을 만족시키는 경우의 수는? (단, 같은 색 공끼리는 서로 구별하지 않고, 공이 들어 있지 않은 상자가 있을 수 있다.) (가) 검은 공이 들어 있지 않은 상자의 개수는 $2$ 이상이다.(나) 검은 공이 들어 있는 상자에 들어 있는 흰 공의 개수는 $1$ 이하이다.① $580$ ② $592$ ③ $604$ ④ $616$ ⑤ $628$ 더보기정답 ⑤

함수 $f(x)=x - \dfrac{1}{e^x + 1}$의 역함수 $f^{-1}(x)$와 $x > 0$에서 정의된 연속함수 $g(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $$\int_{1}^{e^x} f^{-1}(g(t))\, dt = (x-1)e^x + k \quad (\text{단, } k\text{는 상수이다.})$$ 를 만족시킨다. 함수 $g(x)$의 역함수 $g^{-1}(x)$에 대하여 $\displaystyle \int_{f(0)}^{f(k)} (f^{-1}(x) + g^{-1}(x))\, dx$의 값은? ① $e$ ② $2e$ ③ $3e$ ④ $4e$ ⑤ $5e$ 더보기정답 ①

좌표평면에 $\overline{\mathrm{AB}}=6$, $\overline{\mathrm{AD}}=8$인 직사각형 $\mathrm{ABCD}$가 있다. 선분 $\mathrm{CD}$ 위의 한 점 $\mathrm{P}$와 직사각형 $\mathrm{ABCD}$ 내부의 한 점 $\mathrm{Q}$가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PQ}} = \left |\overrightarrow{\mathrm{PQ}} \right |^2$(나) $10\overrightarrow{\mathrm{BQ}}=2\overrightarrow{\mathrm{BA}} + 3\overrightarrow{\mathrm{AD}}$..

그림과 같이 $\overline{\mathrm{AB}} = 4$, $\overline{\mathrm{AC}} = 8$, $\angle\mathrm{CBA} > \dfrac{\pi}{2}$인 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 외접원의 반지름의 길이가 $\dfrac{16\sqrt{15}}{15}$이다. 선분 $\mathrm{AB}$의 중점을 $\mathrm{M}$, 선분 $\mathrm{AC}$의 중점을 $\mathrm{N}$이라 할 때, 두 점 $\mathrm{M}$, $\mathrm{N}$을 각각 중심으로 하고 점 $\mathrm{A}$를 지나는 두 원 $\mathrm{C}_1$, $\mathrm{C}_2$가 있다. 두 원 $\mathrm{C}_1$, $\mathrm{C}_2$가 만나는 점 중 $\ma..

등차수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$이라 하자. 수열 $\{b_n\}$은 모든 자연수 $n$에 대하여$$b_n=\begin{cases} 2(S_n - na_n) & \text{($n$이 홀수인 경우)} \\ (n-1)a_n & \text{($n$이 짝수인 경우)} \end{cases}$$를 만족시킨다. 다음은 $b_2=2$일 때, $\sum \limits_{n=1}^{20} b_n$의 값을 구하는 과정이다. 수열 $\{a_n\}$이 등차수열이므로 자연수 $n$에 대하여 $$S_n=\dfrac{n(a_1 + a_n)}{2} \quad \cdots \cdots \text{ (1)}$$(i) $n = 2k-1$ ($k$는 자연수)일 때, (1)에 의하여 $$\begin{ali..

주머니에 $1$부터 $2n+1$까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 $2n+1$개의 공이 들어 있다. 이 주머니를 사용하여 다음 시행을 한다. 주머니에서 임의로 $2$개의 공을 동시에 꺼내어 꺼낸 $2$개의 공에 적혀 있는 두 수를 확인한 후 다시 주머니에 넣는다. 확인한 두 수가 각각 홀수와 짝수이면 확인한 두 수 중 짝수를 기록하고, 확인한 두 수가 모두 홀수이거나 모두 짝수이면 숫자 $0$을 기록한다. 이 시행을 한 번 하여 기록한 수를 확률변수 $\mathrm{X}$라 하자. $\mathrm{E}(\mathrm{X}^2) = 14\mathrm{E}(\mathrm{X})$일 때, $\mathrm{E} \left (7\mathrm{X} + \dfrac{2}{3} \right )$의 값을 구하시오. (단,..

등비수열 $\{a_n\}$에 대하여 급수 $\sum \limits_{n=1}^{\infty} a_n$이 수렴하고, 수열 $\{b_n\}$을 모든 자연수 $n$에 대하여$$b_n=\begin{cases} -a_n & (a_n \le a_{n+1}) \\ a_{2n} & (a_n > a_{n+1}) \end{cases}$$이라 할 때, 두 수열 $\{a_n\}$, $\{b_n\}$은 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_n b_n (나) $\left(\sum \limits_{n=1}^{\infty} |a_n|\right)^2 = 2\sum \limits_{n=1}^{\infty} a_n^2$$\sum \limits_{n=1}^{\infty} (a_n + b_n) = 63$일 때,..

초점이 $\mathrm{F}(p, 0)$ ($p > 0$)이고 준선이 $x=-p$인 포물선이 있다. 점 $\mathrm{F}'(-p, 0)$에 대하여 $\cos(\angle\mathrm{PFF}')=\dfrac{1}{5}$을 만족시키는 이 포물선 위의 점 중 제1사분면에 있는 점을 $\mathrm{P}$라 하고, 선분 $\mathrm{PF}'$의 중점을 $\mathrm{R}$이라 하자. 두 점 $\mathrm{O}$, $\mathrm{F}'$을 초점으로 하고 점 $\mathrm{R}$을 지나는 쌍곡선에 대하여 선분 $\mathrm{PF}'$과 쌍곡선이 만나는 점 중 $\mathrm{R}$이 아닌 점을 $\mathrm{Q}$라 하자. 삼각형 $\mathrm{QOR}$의 둘레의 길이가 $14$일 때, 삼각형..

두 실수 $a$, $b$에 대하여 두 함수 $$f(x)=\dfrac{1}{6}x^3+\dfrac{1}{2}ax^2+b, \quad g(x)=\dfrac{2}{3}x^3+ax^2$$이 있다. 함수 $h(x)$를 $$h(x)=f(x)+|f(x)-g(x)|$$라 할 때, 함수 $h(x)$는 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $h(x)$는 $x = -1$에서만 미분가능하지 않다.(나) 함수 $h(x)$는 $x = 0$에서 극대이고 $x = \alpha$, $x = \beta$ ($\alpha $h(\alpha) \ge h(\beta)$일 때, $a+b$의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$이라 하자. $M-m$의 값은?① $\dfrac{3}{2}$ ② $\dfrac{9}{4}$ ..