수악중독

최고차항의 계수가 $1$인 이차함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x) > 0$이다. 상수 $k$에 대하여 함수 $g(x)$를 $$g(x) = \int_{k}^{x} f'(t)\ln f(t)\;dt$$라 하자. 함수 $g(x)$가 $x = a$에서 극대 또는 극소인 모든 $a$를 작은 수부터 크기순으로 나열하면 $a_1, a_2, a_3$이다. 두 함수 $f(x)$와 $g(x)$가 다음 조건을 만족시킬 때, $f(a_2)$의 값은? (가) 모든 실수 $x$에 대하여 $g(x) \ge 0$이다. (나) $\int_{a_1}^{a_3} \left( g(x) + f(x) - f(x)\ln f(x) \right) dx = \dfrac{3}{2}$$① $\dfrac{3}{8}$ ..

등비수열 $\{a_n\}$에 대하여 $$\sum_{n=1}^{\infty}(a_n + a_{n+1}) = 5, \quad \sum_{n=1}^{\infty}\left( \left| a_{n+1} + a_{n+2} \right| \times \sin \dfrac{n\pi}{2} \right) = 2$$ 일 때, $\sum \limits_{n=1}^{\infty} (100a_n - m a_{3n})$의 값이 자연수가 되도록 하는 자연수 $m$의 최댓값을 구하시오. 더보기정답 $686$

함수 $f(x) = ax^3 - 2ax^2 + bx - b - 2$ 가 다음 조건을 만족시키도록 하는 두 정수 $a \; (a \neq 0), \; b$에 대하여 $h'\left (-\sqrt{2} \right )$의 최댓값이 $\dfrac{k}{\pi}$일 때, $k^2$의 값을 구하시오. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수$$g(x)=\begin{cases}f(x) + 2 & (x 2) \\ -2 \cos \left( \dfrac{\pi}{4} f(x) \right) & (0 \le x \le 2)\end{cases}$$ 는 역함수 $h(x)$를 갖는다. 더보기정답 $8$

삼차함수 $f(x)$와 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $g(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x)=g(x)-\tan g(x)$이고 다음 조건을 만족시킬 때, $g'(0)\times (g(0))^2$의 값은? (가) $f(0)=0$, $f''(\pi)=0$ (나) $\sin g(\pi)=0$, $\lim \limits_{x \to \infty}g(x)=\dfrac{3\pi}{2}$ ① $-12$ ② $-6$ ③ $-1$ ④ $3$ ⑤ $9$ 더보기정답 ②

첫째항이 양수이고 공비가 유리수인 등비수열 $\{a_n\}$에 대하여 급수 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$이 수렴하고, 수열 $\{a_n\}$이 다음 조건을 만족시킨다. (가) $a_1 + a_2 (나) 수열 $\{a_n\}$의 정수인 항의 개수는 $3$이고, 이 세 항의 곱은 $216$이다. $\sum_{n=1}^{\infty} a_n=\dfrac{q}{p}$일 때, $p + q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) 더보기정답 $91$

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$와 실수 전체의 집합에서 연속한 함수 $g(x)$는 모든 실수 $x$에 대하여 $$f(x)=\ln \left( \dfrac{g(x)}{1 + x f'(x)} \right)$$를 만족시킨다. $f(1)=4 \ln 2$이고 $\displaystyle \int_{1}^{2} g(x) dx= 34$, $\displaystyle \int_{1}^{2} xg(x) dx=53$일 때, $\displaystyle \int_{1}^{2} xe^{f(x)} dx$의 값을 구하시오. 더보기정답 $31$

실수 $a$에 대하여 함수 $$f(x) = \begin{cases}\dfrac{\ln(-x)}{x} & (x $k \ge a$인 모든 실수 $k$에 대하여 함수 $y=f(x)$의 그래프와 직선 $y=tx+k$가 만나는 서로 다른 점의 개수는 $2$이다. $g(1)+h'(1)$의 값은? (단, $\lim \limits_{x \to -\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$) [4점]① $\dfrac{1}{3}$ ② $\dfrac{1}{2}$ ③ $\dfrac{2}{3}$ ④ $\dfrac{5}{6}$ ⑤ $1$ 더보기정답 ②

첫째항이 자연수이고 공비가 $-\dfrac{1}{2}$인 등비수열 $\{a_n\}$이 $$\sum \limits_{n=1}^\infty (|a_{n+1}| - a_n-1) = 26$$ 을 만족시킨다. $\sum \limits_{n=1}^\infty a_n$의 값을 구하시오. 더보기정답 $16$

함수 $\displaystyle \mathrm{f}(x) = \int_0^x e^{\cos \pi t} dt$의 역함수를 $g(x)$라 할 때, 실수 전체의 집합에서 도함수가 연속인 함수 $h(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $$ h(g(x)+2) = 2x^3 + 6f(1)x^2 + 1 $$ 을 만족시킨다. $\displaystyle \int_3^7 \dfrac{h'(x)}{f(x-2)}dx = k \times \{f(1)\}^2$일 때, 실수 $k$의 값을 구하시오. 더보기정답 $72$

양수 $a$에 대하여 급수 $\sum \limits_{n=1}^{\infty} \left( \dfrac{a-3n}{n} + \dfrac{an+6}{n+a} \right)$이 실수 $S$에 수렴할 때, $a + S$의 값은? ① $7$ ② $\dfrac{15}{2}$ ③ $8$ ④ $\dfrac{17}{2}$ ⑤ $9$ 더보기정답 ④