수악중독

그림과 같이 $\overline{\rm AB}=1$, $\overline{\rm BC}=2$ 인 삼각형 $\rm ABC$ 에 대하여 선분 $\rm AC$ 의 중점을 $\rm M$ 이라 하고, 점 $\rm M$ 을 지나고 선분 $\rm AB$ 에 평행한 직선이 선분 $\rm BC$ 와 만나는 점을 $\rm D$ 라 하자. $\angle \rm BAC$ 의 이등분선이 두 직선 $\rm BC, \; DM$ 과 만나는 점을 각각 $\rm E, \; F$ 라 하자. $\angle \rm CBA=\theta$ 일 때, 삼각형 $\rm ABE$ 의 넓이를 $f(\theta)$, 삼각형 $\rm DFC$ 의 넓이를 $g(\theta)$ 라 하자. $\lim \limits_{\theta \to 0+} \dfrac{g(\..

함수 $f(x)=\sin (ax) \; (a \ne 0)$ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 모든 실수 $a$ 의 값의 합을 구하시오. (가) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{a}} f(x) dx \ge \dfrac{1}{2}$ (나) $0

좌표평면에서 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 $2$ 인 원 $C$ 와 두 점 ${\rm A}(2, \; 0)$ , ${\rm B}(0, \; -2)$ 가 있다. 원 $C$ 위에 있고 $x$ 좌표가 음수인 점 $\rm P$ 에 대하여 $\angle \rm PAB = \theta$ 라 하자. 점 ${\rm Q}(0, \; 2 \cos \theta)$ 에서 직선 $\rm BP$ 에 내린 수선의 발을 $\rm R$ 라 하고, 두 점 $\rm P$ 와 $\rm R$ 사이의 거리를 $f(\theta)$ 라 할 때, $\displaystyle \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} f(\theta) d\theta$ 의 값은? ① $\dfrac{2\sqrt{3}-3}{2}$ ② $\sq..

이차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $g(x)=\{f(x)+2\} e^{f(x)}$ 이 다음 조건을 만족시킨다. (가) $f(a)=6$ 인 $a$ 에 대하여 $g(x)$ 는 $x=a$ 에서 최댓값을 갖는다. (나) $g(x)$ 는 $x=b, \; x=b+6$ 에서 최솟값을 갖는다. 방정식 $f(x)=0$ 의 서로 다른 두 실근을 $\alpha, \; \beta$ 라 할 때, $(\alpha - \beta)^2$ 의 값을 구하시오. (단, $a, \; b$ 는 실수이다.) 더보기 정답 $24$

최고차항의 계수가 $9$ 인 삼차함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\lim \limits_{x \to 0} \dfrac{\sin (\pi \times f(x))}{x}=0$ (나) $f(x)$ 의 극댓값과 극솟값의 곱은 $5$ 이다. 함수 $g(x)$ 는 $0 \le x

최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $$g(x)= \begin{cases} f(x) & (0 \le x \le 2) \\[10pt] \dfrac{f(x)}{x-1} & (x2) \end{cases}$$가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $g(x)$ 는 실수 전체의 집합에서 연속이고, $g(2) \ne 0$ 이다. (나) 함수 $g(x)$ 가 $x=a$ 에서 미분가능하지 않은 실수 $a$ 의 개수는 $1$ 이다. (다) $g(k)=0, \; g'(k)=\dfrac{16}{3}$ 인 실수 $k$ 가 존재한다. 함수 $g(x)$ 의 극솟값이 $p$ 일 때, $p^2$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $64$

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족한다. (가) $-1 \le x \le 1$ 에서 $f(x)

그림과 같이 길이가 $4$ 인 선분 $\rm AB$ 의 중점 $\rm O$ 에 대하여 선분 $\rm OB$ 를 반지름으로 하는 사분원 $\rm OBC$ 가 있다. 호 $\rm BC$ 위를 움직이는 점 $\rm P$ 에 대하여 선분 $\rm OB$ 위의 점 $\rm Q$ 가 $\angle \rm APC = \angle PCQ$를 만족시킨다. 선분 $\rm AP$ 가 두 선분 $\rm CO, \; CQ$ 와 만나는 점을 각각 $\rm R, \; S$ 라 하자. $\angle \rm PAB = \theta$ 일 때, 삼각형 $\rm RQS$ 의 넓이를 $S(\theta)$ 라 하자. $\lim \limits_{\theta \to 0+} \dfrac{S(\theta)}{\theta^2}$ 의 값은? (단, $0..

그림과 같이 반지름의 길이가 $5$ 인 원에 내접하고, $\overline{\rm AB}=\overline{\rm AC}$ 인삼각형 $\rm ABC$ 가 있다. $\angle {\rm BAC}=\theta$ 라 하고 점 $ \rm B$ 를 지나고 직선 $\rm ABC$ 에 수직인 직선이 원과 만나는 점 중 $\rm B$ 가 아닌 점을 $\rm D$, 직선 $\rm BD$ 와 직선 $\rm AC$ 가 만나는 점을 $\rm E$ 라 하자. 삼각형 $\rm ABC$ 의 넓이를 $f(\theta)$, 삼각형 $\rm CDE$ 의 넓이를 $g(\theta)$ 라 할 때, $\lim \limits_{\theta \to 0+} \dfrac{g(\theta)}{\theta ^2 \times f(\theta)}$ 의 값..

두 자연수 $a, b$ 에 대하여 이차함수 $f(x)=ax^2+b$ 가 있다. 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)=\ln f(x)-\dfrac{1}{10}\{f(x)-1\}$$ 이라 하자. 실수 $t$ 에 대하여 직선 $y=|g(t)|$ 와 함수 $y=|g(x)|$ 의 그래프가 만나는 점의 개수를 $h(t)$ 라 하자. 두 함수 $g(x), h(t)$ 가 다음 조건을 만족한다. (가) 함수 $g(x)$ 는 $x=0$ 에서 극솟값을 갖는다. (나) 함수 $h(t)$ 가 $t=k$ 에서 불연속인 $k$ 의 값의 개수는 $7$ 이다. $\displaystyle \int_0^ae^xf(x) dx=me^a-19$ 일 때, 자연수 $m$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $586$