수악중독

좌표평면에서 양수 $t$에 대하여 직선 $y=t$가 두 곡선 $y=e^{2x}-e^{-x}+1$, $y=e^{2x}$과 만나는 점을 각각 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$라 하자. 점 $\mathrm{P}$를 지나고 $x$축에 수직인 직선이 곡선 $y=e^{2x}$과 만나는 점의 $y$좌표를 $f(t)$, 점 $\mathrm{Q}$를 지나고 $x$축에 수직인 직선이 곡선 $y=e^{2x}-e^{-x}+1$과 만나는 점의 $y$좌표를 $g(t)$라 할 때, 두 함수 $f(t)$, $g(t)$는 구간 $(0,\; \infty)$에서 미분가능한 함수이다. $\lim \limits_{t \to 1} \dfrac{9f'(t)-4g'(t)}{t-1}$의 값은? ① $1$ ② $3$ ..

모든 항이 정수인 등차수열 $\{a_n\}$과 모든 항이 양수인 등비수열 $\{b_n\}$이 다음 조건을 만족시킨다. (가) $a_1 = b_1$, $a_2 = b_2$ (나) 어떤 자연수 $k$에 대하여 $a_k = b_3$이다. 급수 $\sum \limits_{n=1}^{\infty} b_n$이 수렴할 때, $\left | \sum \limits_{n=1}^{\infty} (b_n \cos(a_n \pi)) \right |$의 최솟값을 $m$이라 하자. $10 \times m$의 값을 구하시오. 더보기정답 $54$

최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$에 대하여 함수 $g(x)$는 $$g(x) = \sqrt[3]{x \left (f(x) \right )^2}$$ 이다. 함수 $g(x)$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하고 $x = \dfrac{19}{7}$와 $x = 3$에서 극값을 가질 때, $f(5)$의 값을 구하시오. 더보기정답 $20$

공비가 $-\dfrac{1}{2}$인 등비수열 $\{a_{n}\}$과 수열 $\{b_{n}\}$이 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 자연수 $n$에 대하여 $(b_{n}-a_{n})(b_{n}-|a_{n}|)=0$이다.(나) $\sum \limits_{n=k}^{\infty}(a_{2n+1}+b_{2n+1})=0$을 만족시키는 자연수 $k$의 최솟값은 $2$이다. $b_{7}-b_{8}=3 \times a_3 +5$일 때, $\sum \limits_{n=1}^{\infty}b_{n}$의 값은?① $-\dfrac{9}{4}$ ② $-\dfrac{3}{4}$ ③ $\dfrac{3}{4}$ ④ $\dfrac{9}{4}$ ⑤ $\dfrac{1..

그림과 같이 길이가 $2$인 선분 $\mathrm{AB}$를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 $\mathrm{AB}$ 위에 점 $\mathrm{P}$를 $\angle\mathrm{BAP}=\theta \; \left (0 더보기정답 $17$

최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$가 역함수 $g(x)$를 갖는다. 함수 $h(x)$가 모든 실수에 대하여 $$g(x)h(x)=x \ln(1+3|g(x)|)$$이고 세 함수 $f(x), g(x), h(x)$가 다음 조건을 만족시킬 때, $f(3)$의 값을 구하시오. (가) $g(k)=0$인 상수 $k$에 대하여 함수 $h(x)-|g(x)|$는 $x=k$에서 미분가능하다.(나) $4g'(f(1))=3f(1)-4$ 더보기정답 $31$

두 수열 $\{a_{n}\}, \{\mathrm{b}_{n}\}$ 에 대하 $\displaystyle{\lim_{n \to \infty} (3n+2)a_{n} = 6, \lim_{n \to \infty} \dfrac{\mathrm{b}_{n}}{n} = 2}$ 일 때, $\displaystyle{\lim_{n \to \infty} a_{n}\mathrm{b}_{n}}$ 의 값은? ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$ 더보기정답 ④

수열 $\{a_{n}\}$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $\displaystyle{\sum_{k=1}^{n} a_{k} }= \sqrt{n+2}$ 를 만족시킬 때, $\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \sqrt{n}a_{n}}$ 의 값은? ① $\dfrac{1}{2}$ ② $1$ ③ $\dfrac{3}{2}$ ④ $2$ ⑤ $\dfrac{5}{2}$ 더보기정답 ①

자연수 $a$ 에 대하여 $\displaystyle {\lim_{n \to \infty} \dfrac{5a^{2n} + (2a)^{n+1}}{a^{2n} + (2a)^{n}} }= a+1$ 을 만족시키는 모든 자연수 $a$ 의 값의 합은? ① $4$ ② $5$ ③ $6$ ④ $7$ ⑤ $8$ 더보기정답 ②

모든 항이 양수인 수열 $\{a_{n}\}$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대하여 다음 조건을 만족시킨다. 좌표평면에서 원점을 지나고 기울기가 $a_{n}$ 인 직선이 점 $(2n-1, 0)$ 을 중심으로 하고 반지름의 길이가 $n$ 인 원과 서로 다른 두 점에서 만나고, 점 $(2n+1, 0)$ 을 중심으로 하고 반지름의 길이가 $n+1$ 인 원과 만나지 않는다. $\displaystyle {\lim_{n \to \infty} n \left (3 - \dfrac{1}{a_{n}^{2}} \right )}$ 의 값은? ① $2$ ② $\dfrac{5}{2}$ ③ $3$ ④ $\dfrac{7}{2}$ ⑤ $4$ 더보기정답 ⑤