기하와 벡터_공간도형_삼수선의 정리_난이도 중

그림과 같이 $\overline{\rm AB} =9,\; \overline{\rm BC} =12,\; \cos(\angle {\rm ABC}) = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ 인 사면체 $\rm ABCD$ 에 대하여 점 $\rm A$ 의 평면 $\rm BCD$ 위로의 정사영을 $\rm P$ 라 하고 점 $\rm A$ 에서 선분 $\rm BC$ 에 내린 수선의 발을 $\rm Q$ 라 하자. $\cos(\angle {\rm AQP}) = \dfrac{\sqrt{3}}{6}$ 일 때, 삼각형 $\rm BCP$ 의 넓이는 $k$ 이다. $k^2$ 의 값을 구하시오.

정답 $162$