수악중독

꼭짓점의 좌표가 $(1, \; 0)$ 이고, 준선이 $x=-1$ 인 포물선이 점 $(3, \; a)$ 를 지날 때, 양수 $a$ 의 값은? ① $1$          ② $2$          ③ $3$          ④ $4$          ⑤ $5$ 더보기정답 ④

자연수 $n \; (n \ge 2)$ 에 대하여 직선 $x=\dfrac{1}{n}$ 이 두 타원 $$C_1 \; : \; \dfrac{x^2}{2}+y^2=1, \quad C_2 \; : \; 2x^2+\dfrac{y^2}{2}=1$$ 과 만나는 제$1$사분면 위의 점을 각각 $\mathrm{P, \; Q}$ 라 하자. 타원 $C_1$ 위의 점 $\mathrm{P}$ 에서의 접선의 $x$ 절편을 $\alpha$, 타원 $C_2$ 위의 점 $\mathrm{Q}$ 에서의 접선의 $x$ 절편을 $\beta$ 라 할 때, $6 \le \alpha-\beta \le 15$ 가 되도록 하는 모든 $n$ 의 개수는? ① $7$          ② $9$          ③ $11$          ④ $13$    ..

두 초점이 $\mathrm{F}(c, \; 0), \; \mathrm{F'}(-c, \; 0) \; (c>0)$ 인 쌍곡선 $x^2-\dfrac{y^2}{35}=1$ 이 있다. 이 쌍곡선 위에 있는 제$1$사분면 위의 점 $\mathrm{P}$ 에 대하여 직선 $\mathrm{PF'}$ 위에 $\overline{\mathrm{PQ}}=\overline{\mathrm{PF}}$ 인 점 $\mathrm{Q}$ 를 잡자. 삼각형 $\mathrm{QF'F}$ 와 삼각형 $\mathrm{FF'P}$ 가 서로 닮음일 때, 삼각형 $\mathrm{PFQ}$ 의 넓이는 $\dfrac{q}{p}\sqrt{5}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $\overline{\mathrm{PF'}}  더보기정답 $107$

포물선 $y^2=12x$ 의 초점 $\mathrm{F}$ 를 지나고 기울기가 양수인 직선이 포물선과 만나는 두 점을 각각 $\mathrm{A, \; B}$ 라 하자. $\overline{\mathrm{AF}}:\overline{\mathrm{BF}}=3:1$ 일 때, 이 포물선 위의 점 $\mathrm{A}$ 에서의 접선의 $y$ 절편은? ① $\sqrt{15}$          ② $3\sqrt{2}$          ③ $\sqrt{21}$          ④ $2\sqrt{6}$          ⑤ $3\sqrt{3}$ 더보기정답 ⑤

장축의 길이가 $8$ 이고 두 초점이 $\matrm{F}(2, \; 0), \; \mathrm{F'}(-2, \; 0)$ 인 타원을 $C_1$ 이라 하자. 장축의 길이가 $12$ 이고 두 초점이 $\mathrm{F}$, $\mathrm{P}(a, \; 0) \;(a>2)$ 인 타원을 $C_2$ 라 하자. 두 타원 $C_1$ 과 $C_2$ 가 만나는 점 중 $y$ 좌표가 양수인 점을 $\mathrm{Q}$ 라 하자. $\overline{\mathrm{F'Q}}, \; \overline{\mathrm{FQ}}, \; \overline{\mathrm{PQ}}$ 가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, $a=p+q\sqrt{10}$ 이다. $p^2+q^2$ 의 값을 구하시오. (단, $p, \; q$ 는 정수이다...

타원 $\dfrac{x^2}{4^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 의 두 초점 사이의 거리가 $6$ 일 때, $b^2$ 의 값은? (단, $0 ① $4$          ② $5$          ③ $6$          ④ $7$          ⑤ $8$ 더보기정답 ④$2\sqrt{16-b^2}=6$$16-b^2=9$$\therefore b^2=7$

좌표평면에서 점 $(1, \; 0)$ 을 중심으로 하고 반지름의 길이가 $6$ 인 원을 $C$ 라 하자. 포물선 $y^2=4x$ 위의 점 $\left (n^2, \; 2n \right )$ 에서의 접선이 원 $C$ 와 만나도록 하는 자연수 $n$ 의 개수는? ① $1$          ② $3$          ③ $5$          ④ $7$          ⑤ $9$ 더보기정답 ③

그림과 같이 두 점 $\mathrm{F}(4, \; 0)$, $\mathrm{F'}(-4, \; 0)$ 을 초점으로 하는 쌍곡선 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 이 있다. 점 $\mathrm{F}$ 를 초점으로 하고 $y$ 축을 준선으로 하는 포물선이 쌍곡선 $C$ 와 만나는 점 중 제$1$사분면 위의 점을 $\mathrm{P}$ 라 하자. 점 $\mathrm{P}$ 에서 $y$ 축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$ 라 할 때, $\overline{\mathrm{PH}}:\overline{\mathrm{HF}}=3:2\sqrt{2}$ 이다. $a^2 \times b^2$ 의 값을 구하시오. (단, $a>b>0$)   더보기정답 $63$

포물선 $(y+2)^2=16(x-8)$ 의 초점에서 포물선 $y^2=-16x$ 에 그은 두 접선의 접점을 각각 $\mathrm{P, \; Q}$ 라 하자. 포물선 $y^2=-16x$ 의 초점을 $\mathrm{F}$ 라 할 때, $\overline{\mathrm{PF}}+\overline{\mathrm{QF}}$ 의 값은? ① $33$          ② $34$          ③ $35$          ④ $36$          ⑤ $37$ 더보기정답 ①

그림과 같이 두 점 $\mathrm{F}(c, \; 0)$, $\mathrm{F'}(-c, \; 0)$ $(c>0)$ 을 초점으로 하는 타원 $\dfrac{x^2}{81}+\dfrac{y^2}{75}=1$ 과 두 점 $\mathrm{F, \; F'}$ 를 초점으로 하는 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 이 있다. 타원과 쌍곡선이 만나는 점 중 제$1$사분면 위의 점을 $\mathrm{P}$ 라 하고, 선분 $\mathrm{F'P}$ 가 쌍곡선과 만나는 점 중 $\mathrm{P}$ 가 아닌 점을 $\mathrm{Q}$ 라 하자. 두 점 $\mathrm{P, \; Q}$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, 점 $\mathrm{P}$ 의 $x$ 좌표는? (단, $a$ 와 ..