수악중독

양의 실수 $x$ 에 대하여 $\log x$ 의 가수를 $f(x)$ 라 하자. 다음 조건을 만족시키는 $a$ 와 $n$ 에 대하여 모든 자연수 $n$ 이 값의 합을 구하시오. (가) $f(a)=f \left( a^{2n} \right )$(나) $(n+1) \log a = 3n^2 - 4n +4$ 정답 $44$

양수 $x$ 에 대하여 $\log x$ 의 지표와 가수를 각각 $f(x), \; g(x)$ 라 하고, $h(x) = x+5f(x)$ 라 하자. 두 조건 $f(m) \le f(x),\;\; g(h(m)) \le g(x)$ 를 만족시키는 자연수 $m$ 의 개수를 $p(x)$ 라 할 때, $\sum \limits_{k=1}^{10} p(2k)$ 의 값을 구하시오. 정답 $65$

그림과 같이 세 로그함수 $f(x)=k \log x$, $g(x)=k^2 \log x$, $h(x)=4k^2 \log x$ 의 그래프가 있다. 점 $\rm P(2, \;0)$ 을 지나고 $y$ 축에 평행한 직선이 두 곡선 $y=g(x), \; y=h(x)$ 와 만나는 점의 $y$ 좌표를 각각 $p ,\; q$ 라 하자. 직선 $y=p$ 와 곡선 $y=f(x)$ 가 만나는 점을 ${\rm Q}(a, \;p)$, 직선 $y=q$ 와 곡선 $y=g(x)$ 가 만나는 점을 ${\rm R}(b, \;q)$ 라 하자. 세 점 $\rm P, \;Q, \;R$ 가 한 직선 위에 있을 때, 두 실수 $a, \; b$ 의 곱 $ab$ 의 값을 구하시오. (단, ..

어떤 앰프에 스피커를 접속 케이블로 연결하여 작동시키면 접속 케이블의 저항과 스피커의 임피던스(스피커에 교류전류가 흐를 때 생기는 저항)에 따라 전송 손실이 생긴다. 접속 케이블의 저항을 $R$, 스피커의 임피던스를 $r$, 전송 손실을 $L$ 이라 하면 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다. $L=10 \log \left ( 1+\dfrac{2R}{r} \right )$ (단, 전송 손실의 단위는 $\rm dB$, 접속 케이블의 저항과 스피커의 임피던스의 단위는 $\omega$ 이다.)이 앰프에 임피던스가 $8$ 인 스피커를 저항이 $5$ 인 접속 케이블로 연결하여 작동시켰을 때의 전송 손실은 저항이 $a$ 인 접속 케이블로 교체하여 작동시켰을 때의 전송 손실의 \(2\..

자연수 $n$ 에 대하여 그림과 같이 세 곡선 $y=\log _2 x +1$, $y=\log _2 x$, $y=\log _2 \left ( x-4^n \right )$ 이 직선 $y=n$ 과 만나는 세 점을 각각 ${\rm A}_n, \;{\rm B}_n, \; {\rm C}_n$ 이라 하자. 두 삼각형 $\rm A_{\it n} OB_{\it n} , \; B_{\it n}OC_{\it n}$ 의 넓이를 각각 $S_n,\; T_n$ 이라 할 때, $\dfrac{T_n}{S_n} = 64$ 를 만족시키는 $n$ 의 값을 구하시오. (단, $\rm O$ 는 원점이다.) 정답 $5$

$x \ge 1$ 일 때, $\log x$ 의 지표와 가수를 각각 $f(x), \; g(x)$ 라 하자. 좌표평면에서 자연수 $n$ 에 대하여 함수 $y=\{f(x)+1\}g(x)$ 의 그래프와 직선 $y=n$ 이 만나는 점의 $x$ 좌표 중 가장 작은 값을 $a_n$ 이라 할 때, $\sum \limits_{n=1}^{10} \left ( \log a_n + \dfrac{1}{n+1} \right )$ 의 값을 구하시오. 정답 $65$

양수 $x$ 에 대하여 $\log x$ 의 지표와 가수를 각각 $f(x), \; g(x)$ 라 하자. $\{ f(x) \}^2 +3g(x)=3$ 의 값이 $3$ 이 되도록 하는 모든 $x$ 값의 곱은 $10^{\frac{q}{p}}$ 이다. $10(p+q)$ 의 값을 구하시오. (단, $p, \;q$ 는 서로소인 자연수이다.) 정답 $70$

$\log_2 \left ( -x^2 +ax +4 \right )$ 의 값이 자연수가 되도록 하는 실수 $x$ 의 개수가 $6$ 일 때, 모든 자연수 $a$ 의 값의 곱을 구하시오. 정답 $30$

양수 $x$ 에 대하여 $\log x$ 의 지표를 $f(x)$, 가수를 $g(x)$ 라 할 때, 자연수 $n \; (n \geq 2)$ 에 대하여 다음 두 조건을 만족시키는 자연수 $a$ 의 최솟값을 $a_n$ 이라 하자. (가) $f(a)=n-1$ (나) $g(a)>g(na)$ $a_2 +a_3 + \dfrac{a_5}{a_4}$ 의 값을 구하시오. 정답 $392$

두 양의 실수 $\alpha, \; \beta$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\log _3 \alpha - \log _2 \alpha = 2^{-\alpha+2}$ (나) $\log _2 \beta - \log _3 \beta = 2^{-\beta+2}$ 다음 중 세 수 $1,\; \alpha,\; \beta$ 의 대소 관계로 옳은 것은? ① \(\beta