수악중독

그림과 같이 초점이 $\mathrm{F}(p, 0)$ ($p > 0$)이고 준선이 $x = -p$인 포물선 위의 점 중 제$1$사분면에 있는 점 $\mathrm{A}$에서 포물선의 준선에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하고, 두 초점이 $x$축 위에 있고 세 점 $\mathrm{F}$, $\mathrm{A}$, $\mathrm{H}$를 지나는 타원의 $x$좌표가 양수인 초점을 $\mathrm{B}$라 하자. 삼각형 $\mathrm{AHB}$의 둘레의 길이가 $p + 27$, 넓이가 $2p + 12$일 때, 선분 $\mathrm{HF}$의 길이를 $k$라 하자. $k^{2}$의 값을 구하시오. 더보기정답 $360$

두 초점이 $\mathrm{F}(c,0)$, $\mathrm{F'}(-c,0)$ ($c>0$)인 쌍곡선 $C$가 있다. 이 쌍곡선 위의 제1사분면 점 $\mathrm{P}$에 대하여 직선 $\mathrm{PF}$는 쌍곡선 $C$의 한 점근선과 평행하다. 직선 $\mathrm{PF}$가 $y$축과 만나는 점을 $\mathrm{Q}$라 할 때, $$\angle \mathrm{QPF'} = \dfrac{\pi}{2}, \quad \overline{\mathrm{QF}} = 20$$이다. 삼각형 $\mathrm{OPQ}$의 넓이를 구하시오. 더보기정답 $48$

두 점 $\mathrm{F}(0, 6)$, $\mathrm{F}'(0, -6)$을 초점으로 하는 타원 $C_1$에 대하여 점 $\mathrm{F}$를 지나고 $x$축과 평행한 직선이 타원 $C_1$과 만나는 점 중 제1사분면 위에 있는 점을 $\mathrm{P}$, 선분 $\mathrm{PF}'$과 $x$축이 만나는 점을 $\mathrm{Q}$라 하자. 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{P}'$을 초점으로 하고 점 $\mathrm{Q}$가 꼭짓점인 타원 $C_2$에 대하여 두 타원 $C_1$, $C_2$가 만나는 점 중 $x$축에 가까운 점을 $\mathrm{R}$이라 하자. $\overline{\mathrm{FR}}=\overline{\mathrm{PR}}=7\sqrt{2}$일 때, 두 ..

양수 $p$에 대하여 점 $\mathrm{F}$를 초점으로 하는 포물선 $C_1: y^2 = 4px$가 있다. 포물선 $C_1$ 위에 있는 제1사분면 위의 점 $\mathrm{P}$를 초점으로 하고 꼭짓점이 $x$축 위에 있는 포물선을 $C_2$라 하자. 두 포물선 $C_1, C_2$가 만나는 두 점 중 $x$좌표가 큰 점을 $\mathrm{Q}$라 하고, 점 $\mathrm{Q}$에서 포물선 $C_2$의 준선에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하자. $\mathrm{PH}=4\sqrt{15}, \mathrm{QH}=5\sqrt{6}$일 때, 선분 $\mathrm{PF}$의 길이는? (단, 점 $\mathrm{P}$의 $x$좌표는 점 $\mathrm{F}$의 $x$좌표보다 크다.) ① $\df..

포물선 $y^2 = 12x$ 위의 점 $(3, \;6)$에서의 접선이 점 $(1, \;a)$를 지날 때, $a$의 값은? ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$ 더보기정답 ④

쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$의 한 점근선의 방정식이 $y = \dfrac{1}{2}x$이다. 쌍곡선이 직선 $y = 1$과 만나는 두 점을 각각 $\mathrm{P, \; Q}$라 하자. 쌍곡선 위의 점 $\mathrm{P}$에서의 접선과 쌍곡선 위의 점 $\mathrm{Q}$에서의 접선이 서로 수직일 때, $a^2 + b^2$의 값은? (단, $a$, $b$는 양수이다.) ① $15$ ② $\dfrac{35}{2}$ ③ $20$ ④ $\dfrac{45}{2}$ ⑤ $25$ 더보기정답 ①

그림과 같이 두 점 $\mathrm{F}(c, \;0)$, $\mathrm{F'}(-c, \;0)$($c > 0$)을 초점으로 하는 타원 $C_1: \dfrac{x^2}{a^2} + y^2 = 1$과 두 점 $\mathrm{G}(0, \;d)$, $\mathrm{G'}(0,\; -d)$ ($d > 1$)을 초점으로 하고 타원 $C_1$의 두 꼭짓점을 지나는 타원 $C_2$가 있다. 직선 $\mathrm{FG}$가 타원 $C_1$와 제$1$사분면에서 만나는 점을 $\mathrm{P}$라 하고, 직선 $\mathrm{F'P}$가 타원 $C_2$와 제$1$사분면에서 만나는 점을 $\mathrm{Q}$라 하자. $\overline{\mathrm{GP}} = \overline{\mathrm{PF}}$이고 $\ov..

그림과 같이 두 점 $\mathrm{F}(c,\; 0)$, $\mathrm{F'}(-c, \; 0)$($c > 0$)을 초점으로 하는 쌍곡선이 있다. 이 쌍곡선 위의 점 중 제$1$사분면에 있는 점 $\mathrm{P}$에 대하여 선분 $\mathrm{F'P}$가 $y$축과 만나는 점을 $\mathrm{Q}$라 하고, 원점 $\mathrm{O}$를 지나고 선분 $\mathrm{F'P}$와 평행한 직선이 이 쌍곡선과 만나는 점 중 제$1$사분면에 있는 점을 $\mathrm{R}$이라 하자. $\overline{\mathrm{F'Q}} = \overline{\mathrm{QP}}$, $\overline{\mathrm{OQ}} = 2$이고 삼각형 $\mathrm{PQR}$의 넓이가 $3$일 때, 이 쌍곡선의..

타원 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{4}=1$의 장축의 길이가 단축의 길이의 2배가 되도록 하는 모든 양수 $a$의 값의 합은?① $3$ ② $4$ ③ $5$ ④ $6$ ⑤ $7$ 더보기정답 ③1) $a^2 > 4$인 경우 : $2a= 2 \times 4$ 에서 $a=4$2) $a^2 1), 2)에서 모든 양수 $a$의 합은 $4+1=5$

양수 $p$에 대하여 포물선 $y^2 = 4px$ 위의 점 $\left( \dfrac{1}{p}, \; 2 \right)$에서의 접선이 포물선의 준선과 만나는 점의 $y$ 좌표가 $-\dfrac{5}{4}$일 때, $p$의 값은? ① $1$ ② $\dfrac{3}{2}$ ③ $2$ ④ $\dfrac{5}{2}$ ⑤ $3$ 더보기정답 ②