수악중독

두 함수 $$f(x)=x^2 - 2x +6, \;\; g(x) = - \left | x-t \right | +11\;(t 는 \; 실수)$$ 가 있다. 함수 $h(x)$ 를 $$h(x)=\begin{cases} f(x) & (f(x)

전체집합 $U=\{2, \; 2^2, \; 2^3, \; 2^4, \; 2^5, \; 2^6\}$ 의 서로 다른 부분집합을 $A_i$ $(i=1, \; 2, \; 3, \; \cdots, \; 64)$ 라 하자. $n(A_i) \ge 3$ 을 만족시키는 모든 집합 $A_i$ 에 대하여 각 집합의 가장 작은 원소를 모두 더한 값을 구하시오. (단, $n(A)$ 는 집합 $A$ 의 원소의 개수이다.) 정답 $144$ 이 문제는 최소인 원소가 $2$, $2^2$, $2^3$, $2^4$ 일 때로 나누어 풀면 됩니다. 1. 최소인 원소가 $2$ 인 경우 원소의 개수가 $3$ 개인 부분집합의 개수는 $2$ 보다 큰 원소 $5$ 개 중 $2$ 개만 선택하면 되므로 ${}_5{\rm C}_2$ 원소의 개수가 $4$ ..

전체집합 $U=\{1, \; 2, \; 3, \; 4, \; 5, \; 6, \; 7, \; 8\}$ 의 두 부분집합 $A, \; B$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $n(A \cup B)=5$ (나) $n(A-B)=2$ (다) $a \in A$ 이면 $\dfrac{a+1}{2} \in B$ 또는 $\dfrac{a+8}{2}\in B$ 이다. 집합 $B-A$ 에 속하는 모든 원소의 합의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$ 이라 할 때, $M+m$ 의 값은? ① $24$ ② $26$ ③ $28$ ④ $30$ ⑤ $32$ 정답 ②

전체집합 $U=\{1, \; 2, \; 3, \;4\}$ 의 공집합이 아닌 두 부분집합 $A, \; B$ 에 대하여 명제 '집합 $A$ 의 모든 원소 $x$ 에 대하여 $x^2-3x

자연수 전체의 집합의 부분집합 $X$ 가 상수 $p$ 에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.(가) $n(X)=3$(나) $x \in X$ 일 때, $x$ 가 홀수이면 $\dfrac{x+p}{2} \in X$, $x$ 가 짝수이면 $\dfrac{x}{2} \in X$ 이다.$5 \in X$ 일 때, 모든 자연수 $p$ 의 값의 합을 구하시오. 정답 $62$

전체집합 $U=\{1, \;2, \;3, \;4, \;5, \;6, \;7, \;8\}$ 의 두 부분집합 $A=\{1, \;2\}$, $B=\{3, \;4, \;5\}$ 에 대하여 $$X \cup A = X, \;\; X \cap B^C = X$$ 를 만족시키는 $U$ 의 모든 부분집합 $X$ 의 개수를 구하시오. 정답 $8$

전체집합 $U=\{1, \;2, \;3, \;4, \;5, \;6, \;7\}$ 의 두 부분집합 $$A=\{1, \;2, \;3\}, \;\; B=\{2, \;3, \;4, \;5\}$$ 에 대하여 집합 $P$ 를 $$P=(A \cup B) \cap (A \cap B)^C$$ 이라 하자. $P \subset X \subset U$ 를 만족시키는 집합 $X$ 의 개수를 구하시오. 정답 $16$ $$\begin{aligned} P &= (A \cup B) \cap (A \cap B)^C \\ &=(A \cup B) - (A \cap B) \\&=\{1, \;4, \;5\} \end{aligned}$$따라서 $X$는 $U$ 의 부분집합 중 $P=\{1, \;4, \;5\}$ 를 반드시 포함하는 부분집합이 된다..

어느 학교 학생 $200$ 명을 대상으로 두 체험 활동 $\rm A, \; B$ 를 신청한 학생 수를 조사하였더니 체험 활동 $\rm A$ 를 신청한 학생은 체험활동 $\rm B$ 를 신청한 학생보다 $20$ 명이 많았고, 어느 체험 활동도 신청하지 않은 학생은 하나 이상의 체험 활동을 신청한 학생보다 $100$ 명이 적었다. 체험 활동 $\rm A$ 만 신청한 학생 수의 최댓값을 구하시오. 정답 $85$

두 집합 $ A=\left \{ (x, \;y) \;|\; y \le 2-x^2 \right \}$ $B=\{(x, \;y) \;|\; a \le x \le y \le a+1\}$에 대하여 $A \cap B = B$ 를 만족시키는 실수 $a$ 의 최솟값은? ① $\dfrac{-2-3\sqrt{5}}{2}$ ② $\dfrac{-1-3 \sqrt{5}}{2}$ ③ $\dfrac{-1-2\sqrt{5}}{2}$ ④ $\dfrac{-2-\sqrt{5}}{2}$ ⑤ $\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}$ 정답 ⑤

세 조건 $p, \;q, \;r$ 의 진리집합을 각각 $$P=\{3\}, \;\; Q=\left \{ a^2-1, \; b \right \} , \;\; R= \{a, \; ab\}$$ 라 하자. $p$ 는 $q$ 이기 위한 충분조건이고, $r$는 $p$ 이기 위한 필요조건일 때, $a+b$ 의 최솟값은? (단, $a, \; b$ 는 실수이다.) ① $-\dfrac{3}{2}$ ② $-2$ ③ $-\dfrac{5}{2}$ ④ $-3$ ⑤ $-\dfrac{7}{2}$ 정답 ⑤