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목록수학2 - 문제풀이/미분 (140)
수악중독
두 다항함수 $f(x), \; g(x)$ 에 대하여 $$(x+1)f(x)+(1-x)g(x)=x^3+9x+1, \quad f(0)=4$$ 일 때, $f'(0)+g'(0)$ 의 값은? ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$ 더보기 정답 ②
실수 $a$ 에 대하여 함수 $f(x)=x^3 -\dfrac{5}{2}x^2+ax+2$ 이다. 곡선 $y=f(x)$ 위의 두 점 $\mathrm{A}(0, \; 2)$, $\mathrm{B}(2, \; f(2))$ 에서의 접선을 각각 $l, \; m$ 이라 하자. 두 직선 $l, \; m$ 이 만나는 점이 $x$ 축 위에 있을 때, $60 \times |f(2)|$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $80$
함수 $f(x)=\left | x^3 -3x +8 \right |$ 과 실수 $t$ 에 대하여 닫힌구간 $[t, \; t+2]$ 에서의 $f(x)$ 의 최댓값을 $g(t)$ 라 하자. 서로 다른 두 실수 $\alpha, \; \beta$ 에 대하여 함수 $g(t)$ 는 $t=\alpha$ 와 $t=\beta$ 에서만 미분가능하지 않다. $\alpha \beta=m+n\sqrt{6}$ 일 때, $m+n$ 의 값을 구하시오. (단, $m, \; n$ 는 정수이다.) 더보기 정답 $2$
최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 와 자연수 $m$ 에 대하여 구간 $(0, \; \infty)$ 에서 정의된 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)=\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{f(x)\left (\dfrac{x}{m} \right )^n +x}{\left (\dfrac{x}{m} \right )^n+1}$$ 라 하자. 함수 $g(x)$ 는다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $g(x)$ 는 구간 $(0, \; \infty)$ 에서 미분가능하고, $g'(m+1) \le 0$ 이다. (나) $g(k)g(k+1)=0$ 을 만족시키는 자연수 $k$ 의 개수는 $3$ 이다. (다) $g(l) \ge g(l+1)$ 을 만족시키는 자연수 $l$ 의 개수는 $3$ 이다...
함수 $$f(x)=\begin{cases} ax^2+bx+1 & (x
다항함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)=\left (x^2-2x \right ) f(x)$$ 라 하자. $g'(0)+g'(2)=16$ 일 때, $f(2)-f(0)$ 의 값은? ① $6$ ② $8$ ③ $10$ ④ $12$ ⑤ $14$ 더보기 정답 ②
실수 $k$ 에 대하여 함수 $f(x)$ 는 $f(x)=x^3-6x^2+9x+k$ 이다. 자연수 $n$ 에 대하여 직선 $y=3n$ 과 함수 $y=f(x)$ 의 그래프가 만나는 점의 개수를 $a_n$ 이라 하자. $\sum \limits_{n=1}^4 a_n = 7$ 을 만족시키는 모든 $k$ 의 값의 합은? ① $30$ ② $33$ ③ $36$ ④ $39$ ⑤ $42$ 더보기 정답 ②
함수 $f(x)=(x+1)(x-6)^2$ 과 양의 실수 $t$ 에 대하여 $g(t)$ 를 다음과 같이 정의한다. 두 점 $(0, \; 0)$ , $(t, \; f(t))$ 를 지나는 직선의 기울기와 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(k, \; f(k))$ 에서의 접선의 기울기가 같아지는 양의 실수 $k$ 의 개수가 $1$ 이면 $k$ 의 값을 $g(t)$, $2$ 이면 $k$ 의 값 중 작은 값을 $g(t)$ 라 한다. 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $f'(0)=24$ ㄴ. $g(6)=\dfrac{4}{3}$ ㄷ. 함수 $g(t)$ 의 치역의 원소가 아닌 모든 자연수의 합은 $27$ 이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 더보기 정답 ⑤
수직선 위를 움직이는 두 점 $\mathrm{P, \; Q}$ 의 시각 $t\; (t>0)$ 에서의 위치가 각각 $$x_1(t)=t^3-3t^2-24t, \quad x_2(t)=t^2-at$$ 이다. 두 점 $\mathrm{P, \; Q}$ 의 운동 방향이 시각 $t=k$ 에서 동시에 바뀔 때, $a+k$ 의 값을 구하시오. (단, $a$ 와 $k$ 는 상수이다.) 더보기 정답 $12$