수악중독

그림과 같이 $\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{CD}}=4$, $\overline{\mathrm{BC}} = \overline{\mathrm{BD}} = 2\sqrt{5}$인 사면체 $\mathrm{ABCD}$가 있고, 점 $\mathrm{A}$에서 직선 $\mathrm{CD}$에 내린 수선의 발 $\mathrm{H}$에 대하여 두 평면 $\mathrm{ABH}$와 $\mathrm{BCD}$는 서로 수직이고 $\overline{\mathrm{AH}}=4$이다. 삼각형 $\mathrm{ABH}$의 무게중심을 $\mathrm{G}$라 하고, 점 $\mathrm{G}$를 중심으로 하고 평면 $\mathrm{ACD}$에 접하는 구를 $S$라 하자. $\angle \mat..

그림과 같이 초점이 $\mathrm{F}(p, 0)$ ($p > 0$)이고 준선이 $x = -p$인 포물선 위의 점 중 제$1$사분면에 있는 점 $\mathrm{A}$에서 포물선의 준선에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하고, 두 초점이 $x$축 위에 있고 세 점 $\mathrm{F}$, $\mathrm{A}$, $\mathrm{H}$를 지나는 타원의 $x$좌표가 양수인 초점을 $\mathrm{B}$라 하자. 삼각형 $\mathrm{AHB}$의 둘레의 길이가 $p + 27$, 넓이가 $2p + 12$일 때, 선분 $\mathrm{HF}$의 길이를 $k$라 하자. $k^{2}$의 값을 구하시오. 더보기정답 $360$

좌표평면에서 길이가 $10\sqrt{2}$인 선분 $\mathrm{AB}$를 지름으로 하는 원 위의 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$가 $$\left ( \overrightarrow{\mathrm{PA}}+ \overrightarrow{\mathrm{PB}} \right ) \cdot \left ( \overrightarrow{\mathrm{PQ}}+ \overrightarrow{\mathrm{PB}} \right )=2 \left | \overrightarrow{\mathrm{PQ}} \right | ^2$$을 만족시킨다. $\left| \overrightarrow{\mathrm{PB}} \right| = 14$일 때, $\left| \overrightarrow{\mathrm{PA..

좌표공간에 서로 평행한 두 평면 $\alpha, \; \beta$와 중심이 $\mathrm{O}$이고 반지름의 길이가 $\sqrt{16}$인 구 $S$가 있다. 점 $\mathrm{O}$에서 두 평면 $\alpha, \;\beta$에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{H}_1, \; \mathrm{H}_2$라 하면$\overline{\mathrm{OH}_1} = \overline{\mathrm{OH}_2} = 2$이다. 구 $S$가 평면 $\alpha$와 만나서 생기는 원 위를 움직이는 점을 $\mathrm{P}$, 평면 $\beta$와 만나서 생기는 원 위를 움직이는 점을 $\mathrm{Q}$라 하자. 삼각형 $\mathrm{POQ}$의 평면 $\beta$ 위로의 정사영의 넓이가 최대일 때..

두 초점이 $\mathrm{F}(c,0)$, $\mathrm{F'}(-c,0)$ ($c>0$)인 쌍곡선 $C$가 있다. 이 쌍곡선 위의 제1사분면 점 $\mathrm{P}$에 대하여 직선 $\mathrm{PF}$는 쌍곡선 $C$의 한 점근선과 평행하다. 직선 $\mathrm{PF}$가 $y$축과 만나는 점을 $\mathrm{Q}$라 할 때, $$\angle \mathrm{QPF'} = \dfrac{\pi}{2}, \quad \overline{\mathrm{QF}} = 20$$이다. 삼각형 $\mathrm{OPQ}$의 넓이를 구하시오. 더보기정답 $48$

좌표평면에 한 변의 길이가 9인 정사각형 $ABCD$와 $\overrightarrow{\mathrm{AE}} = \overrightarrow{\mathrm{AD}} - \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}$를 만족시키는 점 $\mathrm{E}$가 있다. 선분 $\mathrm{BC}$를 지름으로 하는 원 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$에 대하여 점 $\mathrm{Q}$가 다음 조건을 만족시킨다. $\overrightarrow{\mathrm{AE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AP}} \ge 0$이면 $\overrightarrow{\mathrm{BQ}} + \overrightarrow{\mathrm{CQ}} = 7\overrighta..

좌표공간의 구 $S: x^2 + y^2 + z^2=36$ 위의 점 $\mathrm{A}$에 대하여 구 $S$ 위의 점 $\mathrm{B}$가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 선분 $\mathrm{OA}$ 위의 $\overline{\mathrm{OC}}=4$인 점 $\mathrm{C}$에 대하여 직선 $\mathrm{BC}$와 $xy$ 평면이 서로 평행하다. (나) 두 직선 $\mathrm{OA}$, $\mathrm{AB}$와 $xy$ 평면이 이루는 예각의 크기를 각각 $\alpha$, $\beta$라 하면 $\sin \alpha=3 \sin \beta$이다. 삼각형 $\mathrm{OAB}$의 $xy$ 평면 위로의 정사영이 직각삼각형일 때, 평면 $\mathrm{OAB}$와 $xy$ 평면이 이루..

두 점 $\mathrm{F}(0, 6)$, $\mathrm{F}'(0, -6)$을 초점으로 하는 타원 $C_1$에 대하여 점 $\mathrm{F}$를 지나고 $x$축과 평행한 직선이 타원 $C_1$과 만나는 점 중 제1사분면 위에 있는 점을 $\mathrm{P}$, 선분 $\mathrm{PF}'$과 $x$축이 만나는 점을 $\mathrm{Q}$라 하자. 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{P}'$을 초점으로 하고 점 $\mathrm{Q}$가 꼭짓점인 타원 $C_2$에 대하여 두 타원 $C_1$, $C_2$가 만나는 점 중 $x$축에 가까운 점을 $\mathrm{R}$이라 하자. $\overline{\mathrm{FR}}=\overline{\mathrm{PR}}=7\sqrt{2}$일 때, 두 ..

좌표평면에 $\mathrm{AB} = \mathrm{AC} = 8\sqrt{5}$, $\mathrm{BC} = 16$인 삼각형 $\mathrm{ABC}$가 있다. 선분 $\mathrm{AB}$ 위의 점 $\mathrm{P}$, 선분 $\mathrm{BC}$ 위의 점 $\mathrm{Q}$, 선분 $\mathrm{CA}$ 위의 점 $\mathrm{R}$이 다음 조건을 만족시킨다. (가) $(\overrightarrow{\mathrm{PB}} + \overrightarrow{\mathrm{PQ}}) \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}} = (\overrightarrow{\mathrm{RC}} + \overrightarrow{\mathrm{RQ}}) \cdot \overrighta..

양수 $p$에 대하여 점 $\mathrm{F}$를 초점으로 하는 포물선 $C_1: y^2 = 4px$가 있다. 포물선 $C_1$ 위에 있는 제1사분면 위의 점 $\mathrm{P}$를 초점으로 하고 꼭짓점이 $x$축 위에 있는 포물선을 $C_2$라 하자. 두 포물선 $C_1, C_2$가 만나는 두 점 중 $x$좌표가 큰 점을 $\mathrm{Q}$라 하고, 점 $\mathrm{Q}$에서 포물선 $C_2$의 준선에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하자. $\mathrm{PH}=4\sqrt{15}, \mathrm{QH}=5\sqrt{6}$일 때, 선분 $\mathrm{PF}$의 길이는? (단, 점 $\mathrm{P}$의 $x$좌표는 점 $\mathrm{F}$의 $x$좌표보다 크다.) ① $\df..