수악중독

서로 다른 두 자연수 $a, \; b$ 에 대하여 두 확률변수 $X, \; Y$ 가 각각 정규분포 ${\rm N} \left (a, \; \sigma^2 \right )$, ${\rm N}\left (2b-a, \; \sigma^2 \right )$ 을 따른다. 확률변수 $X$ 의 확률밀도함수 $f(x)$ 와 확률변수 $Y$ 의 확률밀도함수 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $a+b$ 의 값을 구하시오. (가) ${\rm P}(x \le 11) = {\rm P} (Y \ge 11)$ (나) $f(17)

두 연속확률변수 $X$ 와 $Y$ 가 갖는 값의 범위는 각각 $0 \le X \le a$, $0 \le Y \le a$ 이고, $X$ 와 $Y$의 확률밀도함수를 각각 $f(x), \; g(x)$ 라 하자. $0 \le x \le a$ 인 모든 실수 $x$ 에 대하여 두 함수 $f(x), \; g(x)$ 는 $$f(x)=b, \; g(x)={\rm P}(0 \le X \le x)$$ 이다. ${\rm P}(0 \le Y \le c)=\dfrac{1}{2}$ 일 때, $(a+b) \times c^2$ 의 값을 구하시오. (단, $a, \; b, \; c$ 는 상수이다.) 더보기 정답 $5$

두 연속확률변수 $X$ 와 $Y$ 가 갖는 값의 범위는 $0 \le X \le 6, \; 0 \le Y \le 6$ 이고, $X$ 와 $Y$ 의 확률밀도함수는 각각 $f(x) , \; g(x)$ 이다. 확률변수 $X$ 의 확률밀도함수 $f(x)$ 의 그래프는 그림과 같다. $0 \le x \le 6$ 인 모든 $x$ 에 대하여 $$f(x)+g(x)=k \quad (k \text{는 상수})$$ 를 만족시킬 때, ${\rm P} (6k \le Y \le 15k)=\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $31$

주머니에 $12$ 개의 공이 들어 있다. 이 공들 각각에는 숫자 $1, \; 2, \; 3, \; 4$ 중 하나씩이 적혀 있다. 이 주머니에서 임의로 한 개의 공을 꺼내어 공에 적혀 있는 수를 확인한 후 다시 넣는 시행을 한다. 이 시행을 $4$ 번 반복하여 확인한 $4$ 개의 수의 합을 확률변수 $X$ 라 할 때, 확률변수 $X$ 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) ${\rm P}(X=4) = 16 \times {\rm P}(X=16) = \dfrac{1}{81}$ (나) ${\rm E}(X)=9$ ${\rm V}(X)= \dfrac{q}{p}$ 일 때, $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $23$

두 이산확률변수 $X, \; Y$ 의 확률분포를 표로 나타내면 각각 다음과 같다. ${\rm V}(X) = \dfrac{31}{5}$ 일 때, $10 \times {\rm V}(Y)$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $78$

어느 공장에서 생산되는 제품의 무게는 정규분포 ${\rm N} \left ( m, \; \sigma^2 \right )$ 을 따르고, 이 공장에서 생산된 제품 중에서 임의로 선택한 제품 $1$개의 무게를 $X$ 라 할 때, $| X-m | >10$ 일 확률이 $0.2112$ 이다. 이 공장에서 생산된 제품 중에서 임의추출한 제품 $n$ 개의 무게의 평균이 $m-1$ 이상일 확률이 $0.9878$ 이상이 되도록 하는 자연수 $n$ 의 최솟값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구하시오. (단, 제품의 무게의 단위는 $\rm g$ 이다.) 더보기 정답 $324$

확률변수 $X$ 는 정규분포 ${\rm N} \left ( m, \; 2^2 \right )$, 확률변수 $Y$ 는 정규분포 ${\rm N} \left (m, \; \sigma^2 \right )$ 을 따른다. 상수 $a$ 에 대하여 두 확률변수 $X, \; Y$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $Y=3X-a$ (나) ${\rm P}(X \le 4) = {\rm P}(Y\ge a)$ ${\rm P}(Y \ge 9)$ 의 값을 오른쪽 표분정규분포표를 이용하여 구한것은? ① $0.0228$ ② $0.0668$ ③ $0.1587$ ④ $0.2417$ ⑤ $0.3085$ 더보기 정답 ⑤

좌표평면의 원점에 점 $\rm P$ 가 있다. 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다. 주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 $2$ 이하이면 점 $\rm P$ 를 $x$ 축의 양의 방향으로 $3$ 만큼, $3$ 이상이면 점 $\rm P$ 를 $y$ 축의 양의 방향으로 $1$ 만큼 이동시킨다. 이 시행을 $15$ 번 반복하여 이동된 점 $\rm P$ 와 직선 $3x+4y=0$ 사이의 거리를 확률변수 $X$ 라 하자. ${\rm E}(X)$ 의 값은? ① $13$ ② $15$ ③ $17$ ④ $19$ ⑤ $21$ 더보기 정답 ③

확률변수 $X$ 는 평균이 $8$, 표준편차가 $3$ 인 정규분포를 따르고, 확률변수 $Y$ 는 평균이 $m$, 표준편차가 $\sigma$ 인 정규분포를 따른다. 두 확률변수 $X, \; Y$ 가 $${\rm P}(4 \le X \le 8) + {\rm P}(Y \ge 8) = \dfrac{1}{2}$$ 을 만족시킬 때, ${\rm P} \left ( Y \le 8+\dfrac{2\sigma}{3} \right )$ 의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? ① $0.8351$ ② $0.8413$ ③ $0.9332$ ④ $0.9772$ ⑤ $0.9938$ 더보기 정답 ④

확률변수 $X$ 의 확률질량함수가 $${\rm P}(X=r) = {}_{30}{\rm C}_r a^r (1-a)^{30-r} \; \; (r=0, \; 1, \; 2, \; \cdots, \; 30)$$ 이다. ${\rm V}(X)=\dfrac{2}{15} \{{\rm E} (X) \}^2$ 일 때, $a$ 의 값은? (단, $0