수악중독

그림과 같이 좌표평면 위에 세 점 $\rm A(1, \;1), \; B \left ( 2 \sqrt{3},\; 2 \right ), \; C \left ( 3,\; 2\sqrt{2} \right )$ 를 꼭짓점으로 하는 삼각형 $\rm ABC$ 가 있다. 행렬 $$ \left ( \begin{matrix} \cos \dfrac{n}{24} \pi & -\sin \dfrac{n}{24} \pi \\[15pt] \sin \dfrac{n}{24}\pi & \cos \dfrac{n}{24}\pi \end{matrix} \right ) \; (0

행렬 \(\left ( \matrix{\cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta} \right )\) 로 나타내어지는 일차변환에 의해 직선 $y=x$ 가 옮겨지는 직선과 곡선 $y=-x^3+6x^2-9x+8$ 이 만나는 점의 개수를 $f(\theta)$ 라 하자. 구간 $(0,\;2\pi)$ 에서 함수 $f(\theta)$ 가 불연속인 모든 $\theta$ 의 값의 합을 $\alpha$ 라 할 때, $\left | \tan \dfrac{\alpha}{2} \right |$ 의 값을 구하시오. 정답 $24$

\(0

행렬 \(\left ( \matrix { \dfrac{1}{3} & \dfrac{2}{3} \\ \dfrac{2}{3} & \dfrac{1}{3}} \right ) \) 이 나타내는 일차변환에 의하여 좌표평면 위의 점 ${\rm P}_n (a_n,\; b_n)$ 이 옮겨지는 점을 ${\rm P}_{n+1} ( a_{n+1},\;b_{n+1})$ 이라 하자. $\rm P_1 (4, \;-2)$ 일 때, $\lim \limits_{n \to \infty} (a_n -2b_n)$ 의 값은? (단, $n$ 은 자연수이다.) ① $-2$ ② $-1$ ③ $0$ ④ $1$ ⑤ $2$ 정답 ②

회전변환 $f$ 에 의하여 직선 $2x-y=5$ 는 점 $(2,\;1)$ 을 지나는 직선으로 이동한다. 회전변환 $f$ 를 나타내는 행렬의 모든 성분의 합은? ① $\dfrac{6}{5}$ ② $\dfrac{8}{5}$ ③ $2$ ④ $-\dfrac{6}{5}$ ⑤ $-\dfrac{8}{5}$ 정답 ①

두 일차변환 $f,\;g$ 를 나타내는 행렬이 각각 \(\left ( \matrix { \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta} \right ) ,\;\; \left ( \matrix {\dfrac{1}{2} & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{2}} \right ) \) 이다. 점 $\rm A_1 (4,\;0)$ 이 합성변환 $g \circ f$ 에 의하여 옮겨지는 점을 $\rm A_2$, 점 $\rm A_2$ 가 합성변환 $g \circ f$ 에 의하여 옮겨지는 점을 $\rm A_3, \; \cdots$, 점 ${\rm A}_{n-1}$ 이 합성변환 $g \circ f$ 에 의하여 옮겨지는 점을 \({\r..

좌표평면에서 원 $x^2+y^2=2$ 와 직선 $y= \left ( \tan \dfrac{\pi}{8} \right ) x$ 가 제 $1$사분면에서 만나는 점의 좌표를 $(a,\;b)$ 라 할 때, 행렬 \(A= \left ( \matrix { a & -b \\ b & a} \right ) \) 로 나타내어지는 일차변환을 $f$ 라 하자. 이때, 행렬 $A^n$ 으로 나타내어지는 일차변환에 의하여 점 $(2,\;3)$ 이 점 $(2k, \;3k)$ 로 옮겨지도록 하는 자연수 $n$ 과 실수 $k$ 가 존재한다. 자연수 $n$ 의 최솟값을 $m$ 이라 하고, 이때의 $k$ 값을 $k'$ 이라 하자. $m+|k'|$ 의 값을 구하시오. 정답 $24$

두 일차변환 $f,\;g$ 를 나타내는 행렬이 각각 \(\left ( \matrix { \dfrac{\sqrt{3}}{2} & -\dfrac{1}{2} \\ \dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} } \right ), \;\; \left ( \matrix {k & 0 \\ 0 & k} \right )\) 일 때, 원 $c: \left (x-\sqrt{3} \right )^2 + (y+1)^2=1$ 이 합성변환 $g \circ f$ 에 의하여 옮겨지는 도형을 $D$ 라 하자. $1 \leq k \leq 2$ 일 때, 도형 $D$ 가 둘러싸는 영역 전체를 $x$ 축의 둘레로 회전시켜 생기는 입체의 부피는 $V$ 이다. $\dfrac{6V}{\pi}$ 의..

두 행렬 \(A= \left ( \matrix{1 & -1 \\ 1 & 1} \right ) ,\; B= \left ( \matrix {1 & 0 \\ 0 & -1} \right ) \) 로 나타내어지는 일차변환을 각각 $f, \;g$ 라 하자. 함수 $y=-|x-2|+2$ 의 그래프가 합성변환 $g \circ f$ 에 의하여 옮겨진 도형과 직선 $y=-x$ 로 둘러싸인 부분의 넓이는? ① $4$ ② $4\sqrt{2}$ ③ $6$ ④ $8$ ⑤ $8\sqrt{2}$ 정답 ④

행렬 \(\left ( \matrix {3 & 0 \\ 0 & 2} \right )\) 로 나타내어지는 일차변환 $f$ 와 점 $\rm P_1 (3,\;2)$ 에 대하여 ${\rm P}_{n+1}=f({\rm P}_n)\;(n=1,\;2,\;3,\; \cdots)$ 이라 하자. 원점 $\rm O$ 를 중심으로 하고 점 ${\rm P}_n$ 을 지나는 원을 $C_n$ 이라 하고, 점 ${\rm P}_n$ 에서 원 $C_n$ 에 접하는 직선을 $l_n$ 이라 하자. 원 $C_n$ 이 일차변환 $f$ 에 의하여 옮겨진 도형에 접하면서 점 ${\rm P}_{n+1}$ 을 지나는 직선의 기울기를 $a_n$ 이라 하고, 직선 $l_n$ 의 기울기를 $b_n$ 이..