수악중독

수열 $\{a_n\}$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대하여 다음 조건을 만족시킨다. (가) $a_{2n} = a_n-1$ (나) $a_{2n+1} = 2a_n +1$ $a_{20} =1$ 일 때, $\sum \limits_{n=1}^{63} a_n$ 의 값은? ① $704$ ② $712$ ③ $720$ ④ $728$ ⑤ $736$ 더보기 정답 ④

첫째항이 짝수인 수열 $\{a_n\}$ 은 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $a_{n+1} = \begin{cases} a_n +3\;\; (a_n이 \; 홀수인 \; 경우) \\\\ \dfrac{a_n}{2} \;\; (a_n이 \; 짝수인\; 경우)\end{cases}$ 를 만족시킨다. $a_5 = 5$ 일 때, 수열 $\{a_n\}$ 의 첫째항이 될 수 있는 모든 수의 합을 구하시오. 정답 $142$

두 실수 $a, \; b$ 에 대하여 두 함수 $\begin{aligned}f(x) &=ax+b \\ g(x) &= \dfrac{1}{ax+b-2} +3 \end{aligned}$ 이 다음 조건을 만족시키도록 하는 두 실수 $a, \; b$ 의 순서쌍 $(a, \; b)$ 를 좌표평면에 나타낸 영역을 $R$ 라 하자. (가) $x>0$ 일 때, $1

두 함수 $f(x)=x^2 - 2x +6, \;\; g(x) = - \left | x-t \right | +11\;(t 는 \; 실수)$ 가 있다. 함수 $h(x)$ 를 $$h(x)=\begin{cases} f(x) & (f(x)

첫째항이 자연수이고 공차가 음의 정수인 등차수열 $\{a_n\}$ 과 첫째항이 자연수이고 공비가 음의 정수인 등비수열 $\{b_n\}$ 이 다음 조건을 만족시킬 때, $a_7 + b_7$ 의 값을 구하시오. (가) $\sum \limits_{n=1}^5 (a_n +b_n)=27$(나) $\sum \limits_{n=1}^5 (a_n +|b_n|)=67$(다) $\sum \limits_{n=1}^5 (|a_n| +|b_n|)=81$ 정답 $117$

좌표평면에서 그림과 같이 길이가 $1$ 인 선분이 수직으로 만나도록 연결된 경로가 있다. 이 경로를 따라 원점에서 멀어지도록 움직이는 점 $\rm P$ 의 위치를 나타내는 점 ${\rm A}_n$ 을 다음과 같은 규칙으로 정한다. (i) ${\rm A}_0$ 은 원점이다.(ii) $n$ 이 자연수일 때, ${\rm A}_n$ 은 점 ${\rm A}_{n-1}$ 에서 점 $\rm P$ 가 경로를 따라 $\dfrac{2n-1}{25}$ 만큼 이동한 위치에 있는 점이다. 예를 들어, 점 ${\rm A}_2$ 와 ${\rm A}_6$ 의 좌표는 각각 $\left ( \dfrac{4}{25}, \; 0 \right )$, $\left (1, \; \dfrac{11}{25} \right )$ 이다. 자연수 $n$..

좌표평면에서 두 곡선 $y=2 \sqrt{x}, \; y=-\sqrt{x}+6$ 과 직선 $x=k$ 로 둘러싸인 영역의 내부 또는 그 경계에 포함되고 $x$ 좌표와 $y$ 좌표가 모두 정수인 점의 개수가 $59$ 가 되도록 하는 자연수 $k$ 의 값을 구하시오. (단, $k>4$)정답 $18$

전체집합 $U=\{2, \; 2^2, \; 2^3, \; 2^4, \; 2^5, \; 2^6\}$ 의 서로 다른 부분집합을 $A_i$ $(i=1, \; 2, \; 3, \; \cdots, \; 64)$ 라 하자. $n(A_i) \ge 3$ 을 만족시키는 모든 집합 $A_i$ 에 대하여 각 집합의 가장 작은 원소를 모두 더한 값을 구하시오. (단, $n(A)$ 는 집합 $A$ 의 원소의 개수이다.) 정답 $144$ 이 문제는 최소인 원소가 $2$, $2^2$, $2^3$, $2^4$ 일 때로 나누어 풀면 됩니다. 1. 최소인 원소가 $2$ 인 경우 원소의 개수가 $3$ 개인 부분집합의 개수는 $2$ 보다 큰 원소 $5$ 개 중 $2$ 개만 선택하면 되므로 ${}_5{\rm C}_2$ 원소의 개수가 $4$ ..

함수 $$f(x)=\begin{cases}ax+b & (x 더보기정답 $20$

사차함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족한다. (가) $5$ 이하의 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $\sum \limits_{k=1}^n f(k)=f(n)f(n+1)$ 이다.(나) $n=3, \; 4$ 일 때, $f(x)$ 에서 $x$ 의 값이 $n$ 에서 $n+2$ 까지 변할 때의 평균변화율은 양수가 아니다. $128 \times f \left ( \dfrac{5}{2} \right )$ 의 값을 구하시오. 정답 $65$