수악중독

그림과 같이 중심이 제1사분면 위에 있고 $x$ 축과 점 $\rm P$ 에서 접하며 $y$ 축과 두 점 $\rm Q, \; R$ 에서 만나는 원이 있다. 점 $\rm P$ 를 지나고 기울기가 $2$ 인 직선이 원과 만나는 점 중 $\rm P$ 가 아닌 점을 $S$ 라 할 때, $\overline{\rm QR}=\overline{\rm PS}=4$ 를 만족시킨다. 원점 $\rm O$ 와 원의 중심 사이의 거리는? ① $\sqrt{6}$ ② $\sqrt{7}$ ③ $2\sqrt{2}$ ④ $3$ ⑤ $\sqrt{10}$ 더보기 정답 ①

그림과 같이 좌표평면 위에 두 점 ${\rm A}(0, \; 1)$, ${\rm B}(1, \; 0)$ 이 있다. 양수 $n$ 과 원점 $\rm O$ 에 대하여 선분 $\rm OA$ 를 $1:n$ 으로 내분하는 점을 $\rm P$, 선분 $\rm OB$ 를 $1:n$ 으로 내분하는 점을 $\rm Q$, 선분 $\rm AQ$ 와 선분 $\rm BP$ 가 만나는 점을 $\rm R$ 라 하자. 다음은 사각형 $\rm POQR$ 의 넓이가 $\dfrac{1}{42}$ 일 떄, $n$ 의 값을 구하는 과정이다. 점 $\rm P$ 의 좌표는 $\left ( 0, \; \dfrac{1}{n+1} \right )$ , 점 $\rm Q$ 의 좌표는 $\left ( \dfrac{1}{n+1}, \; 0 \right )$ ..

$-1

원 $(x+1)^2+(y+2)^2=9$ 를 $x$ 축의 방향으로 $m$ 만큼, $y$ 축의 방향으로 $n$ 만큼 평행이동한 원을 $C$ 라 하자. 원 $C$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $m+n$ 의 값을 구하시오. (단, $m, \; n$ 은 상수이다.) (가) 원 $C$ 의 중심은 제1사분면 위에 있다. (나) 원 $C$ 는 $x$ 축과 $y$ 축에 동시에 접한다. 더보기 정답 $9$ 원 $C$ 의 중심의 좌표는 $(-1+m, \; -2+n)$ 가) 원 $C$ 의 중심이 제1사분면 위에 있으므로 $m-1>0, \; n-2>0$ 나) 원 $C$ 가 $x$ 축과 $y$ 축에 동시에 접하므로 $|m-1|=m-1=3, \; |n-2|=n-2=3$ 따라서 $m=4, \; n=5$ $\therefore m+n..

그림과 같이 원의 중심 ${\rm C}(a, \; b)$ 가 제1사분면 위에 있고, 반지름의 길이가 $r$ 이며 원점 $\rm O$ 를 지나는 원이 있다. 원과 $x$ 축, $y$ 축이 만나는 점 중 $\rm O$ 가 아닌 점을 각각 $\rm A, \; B$라 하자. 네 점 $\rm O, \; A, \; B, \; C$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $a+b+r^2$ 의 값을 구하시오. (가) $\overline{\rm OB} - \overline{\rm OA}=4$ (나) 두 점 $\rm O, \; C$ 를 지나는 직선의 방정식은 $y=3x$ 이다. 더보기 정답 $14$

좌표평면 위에 점 ${\rm A}(0, \; 1)$ 이 있다. 이차함수 $f(x)=\dfrac{1}{4}x^2$ 의 그래프 위의 점 ${\rm P} \left ( t, \; \dfrac{t^2}{4} \right )\; (t>0)$ 을 지나고 기울기가 $\dfrac{t}{2}$ 인 직선이 $x$ 축과 만나는 점을 $\rm Q$ 라 할 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $t=2$ 일 때, 점 $\rm Q$ 의 $x$ 좌표는 $1$ 이다. ㄴ. 두 직선 $\rm PQ$ 와 $\rm AQ$ 는 서로 수직이다. ㄷ. 선분 $\rm QA$ 를 $3:2$ 로 외분하는 점 $\rm R$ 가 함수 $y=f(x)$ 의 그래프 위의 점을 때, 삼각형 $\rm RQP$ 의 넓이는 $ 6\sqrt{3}$ 이..

함수 $f(x)=\dfrac{bx}{x-a} \; (a>0, b \ne 0)$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $$g(x) = \begin{cases} f(x) & (x

원래 문제는 원 $(x-a)^2 + (y+a)^2 = 9a^2$ 입니다. 제가 타이핑을 잘못해서 문제가 바뀌었습니다. 이 사실을 영상을 다 만든 후에 알게 되었네요. 하지만 풀이 방법이 동일하고, 정답도 같기 때문에 영상을 수정하지 않기로 결정했습니다. 다음부터는 오타가 발생하지 않도록 신경쓰겠습니다. 죄송합니다. 원 $(x-a)^2 + (y-a)^2 = 9a^2 \; (a>0)$ 과 $x$ 축이 만나는 두 점을 각각 $\rm A, \; B$ 라 하자. 삼각형 $\rm ABP$ 의 넓이가 $8 \sqrt{2}$ 가 되도록 하는 원 위의 점 $\rm P$ 의 개수가 $3$ 일 때, 이 $3$ 개의 점을 각각 $\rm P_1, \; P_2, \; P_3$ 이라 하자. 삼각형 $\rm P_1P_2P_3$ 의 ..

그림과 같이 직각삼각형 $\rm ABC$ 가 있다. 세 직선 $\rm AB, \; BC, \; CA$ 에 동시에 접하는 네 원 $O_1, \; O_2, \; O_3, \; O_4$ 의 반지름의 길이를 각각 $r_1, \; r_2, \; r_3, \; r_4$ 라 하자. 직각삼각형 $\rm ABC$ 의 넓이가 $\dfrac{15}{2}$ 이고 $r_1=1$ 일 때, $r_2+r_3+r_4$ 의 값을 구하시오. 정답 $14$

그림과 같이 $\overline{\rm AB}=3 \sqrt{2} , \; \overline{\rm BC}=4, \; \overline{\rm CA} = \sqrt{10}$ 인 삼각형 $\rm ABC$ 에 대하여 세 선분 $\rm AB, \; BC, \; CA$ 위의 점을 각각 $\rm D, \; E, \; F$ 라 하자. 삼각형 $\rm DEF$ 의 둘레의 길이의 최솟값이 $\dfrac{q}{p} \sqrt{5}$ 일 때, $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 정답 $17$