수악중독

점 $(0, \; 3)$ 에서 원 $x^2+y^2=1$ 에 그은 접선이 $x$ 축과 만나는 점의 $x$ 좌표를 $k$ 라고 할 때, $16k^2$ 의 값을 구하시오. 정답 $18$

모든 자연수 $k$ 에 대하여 좌표평면에 중심이 ${\rm A}_k$, 반지름의 길이가 $r_k$ 인 원 $C_k$ 를 다음 규칙에 따라 정한다. (가) $\rm A_1 (1, \;0)$ 이고 $r_1=1$ 이다. (나) 점 ${\rm A}_{k+1}$ 은 점 ${\rm A}_k$ 를 $x$ 축의 방향으로 $3$ 만큼 평행이동한 점이다. (다) $r_{k+1} = r_k +2$ 자연수 $m$에 대하여 집합 $X_m$ 을 $X_m = \{ k \; | \; k \ne m 이고, \; 원\; C_m과 \; 원 \; C_k 는 \; 만난다.\}$라 할 때, $n(X_m) \ge 500$ 을 만족시키는 $m$ 의 최솟값을 구하시오. 정답 $105$

좌표평면에 두 점 $\rm A(1, \;-1), \; B(4, \;3)$ 이 있다. 반지름의 길이가 $1$ 이고 선분 $\rm AB$ 와 만나는 원의 중심을 $\rm P$ 라 할 때, 선분 $\rm OP$ 의 길이의 최댓값은 $M$, 최솟값은 $m$ 이다. $M+m$ 의 값은? (단, $\rm O$ 는 원점이다.)① $\dfrac{61}{10}$ ② $\dfrac{31}{5}$ ③ $\dfrac{63}{10}$ ④ $\dfrac{32}{5}$ ⑤ $\dfrac{13}{2}$ 정답 ④

좌표평면 위의 두 점 $\rm A \left ( - \sqrt{5}, \; -1 \right ), \; B \left ( \sqrt{5}, \; 3 \right )$ 과 직선 $y=x-2$ 위의 서로 다른 두 점 $\rm P, \;Q$ 에 대하여 $\rm \angle APB = \angle AQB = 90^o$ 일 때, 선분 $\rm PQ$ 의 길이를 $l$ 이라 하자. $l^2$의 값을 구하시오. 정답 $18$

이차함수 $y=x^2$ 의 그래프 위의 점을 중심으로 하고 $y$ 축에 접하는 원 중에서 직선 $y=\sqrt{3}x-2$ 와 접하는 원은 $2$ 개이다. 두 원의 반지름의 길이를 각각 $a, \; b$ 라 할 때, $100ab$ 의 값을 구하시오. 정답 $200$

다음은 어떤 전시장에 밑면의 반지름의 길이가 $1 \rm m$ 인 원기둥 모양의 세 전시물 $\rm A, \; B, \;C$ 를 설치하는 방법이다.(가) 관람지점 $\rm P$ 에서 전시물 $\rm A, \;B$ 의 밑면의 중심까지의 거리가 각각 $2 \rm m$ 이고, 관람지점 $\rm P$ 와 전시물 $\rm A, \;B$ 의 밑면의 중심을 연결한 두 직선이 서로 수직이 되도록 전시물 $\rm A, \; B$ 를 설치한다.(나) 관람자가 관람지점 $\rm P$ 에서 전시물 $\rm A, \; B$ 사이로 전시물 $\rm C$ 를 보았을 때, 전시물 $\rm C$ 가 전시물 $\rm A, \; B$ 에 의해 가려지는 부분이 없도록 전시물 $\rm C$ 를 설치한다. 관람지점 $\rm P$ 로부터 전시물..

좌표평면에서 중심이 $(1,\;1)$ 이고 반지름의 길이가 $1$인 원과 직선 $y=mx \; (m>0)$ 가 두 점 $\rm A, \;B$에서 만난다. 두 점 $\rm A, \;B$ 에서 각각 이 원에 접하는 두 직선이 서로 수직이 되도록 하는 모든 실수 $m$ 의 값의 합은?① $2$ ② $\dfrac{5}{2}$ ③ $3$ ④ $\dfrac{7}{2}$ ⑤ $4$ 정답 ⑤

좌표평면에 원 $x^2+y^2-10x=0$ 이 있다. 이 원의 현 중에서 점 $\rm A(1, \;0)$ 을 지나고 그 길이가 자연수인 현의 개수는? ① $6$ ② $7$ ③ $8$ ④ $9$ ⑤ $10$ 정답 ③

그림과 같이 점 $\rm A(4, \;3)$ 을 지나고 기울기가 양수인 직선 $l$ 인 원 $x^2+y^2=10$ 과 두 점 $\rm P, \;Q$ 에서 만난다. $\overline{\rm AP}=3$ 일 때, 직선 $l$ 의 기울기는?① $\dfrac{23}{7}$ ② $\dfrac{24}{7}$ ③ $\dfrac{25}{7}$ ④ $\dfrac{26}{7}$ ⑤ $\dfrac{27}{7}$ 정답 ②

좌표평면에 두 원 $C_1 : x^2+y^2=1, \;\; C_2:x^2+y^2-8x+6y+21=0$ 이 있다. 그림과 같이 $x$ 축 위의 점 $\rm P$ 에서 원 $C_1$ 에 그은 한 접선의 접점을 $\rm Q$, 점 $\rm P$ 에서 원 $C_2$ 에 그은 한 접선의 접점을 $\rm R$ 라 하자. $\overline{\rm PQ}= \overline{\rm PR}$ 일 때, 점 $\rm P$ 의 $x$ 좌표는? ① $\dfrac{19}{8}$ ② $\dfrac{5}{2}$ ③ $\dfrac{21}{8}$ ④ $\dfrac{11}{4}$ ⑤ $\dfrac{23}{8}$ 정답 ④