수악중독

첫째항이 $1$ 인 수열 $\{a_n\}$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$a_{n+1} = \begin{cases}a_n -4 & ( a_n \ge 0) \\ a_n^2 & (a_n

모든 항이 실수인 등비수열 $\{a_n\}$ 에 대하여 $$\sum \limits_{k=1}^{20} a_k + \sum \limits_{k=1}^{10}a_{2k}=0$$ 이 성립한다. $a_3 + a_4 = 3$ 일 때, $a_1$ 의 값은? ① $12$ ② $16$ ③ $20$ ④ $24$ ⑤ $28$ 더보기 정답 ④

공차가 음수인 등차수열 $\{a_n\}$ 이 다음 조건을 만족시킬 때, 모든 $a_1$ 의 값의 합은? $|a_m|=2|a_{m+2}|$ 이면서 $S_m, \; S_{m+1}, \; S_{m+2}$ 중에서 가장 큰 값이 $460$ 이고 가장 작은 값이 $450$ 이 되도록 하는 자연수 $m$ 이 존재한다. (단, $S_n$ 은 수열 $\{a_n\}$ 의 첫째항부터 제$n$항까지의 합이다.) ① $144$ ② $148$ ③ $152$ ④ $156$ ⑤ $160$ 더보기 정답 ③

수열 $\{a_n\}$ 의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$ 이라 하자. 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $S_n = \dfrac{n}{2n+1}$ 일 때, $\sum \limits_{k=1}^6 \dfrac{1}{a_k}$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $358$

모든 항이 자연수이고 다음 조건을 만족시키는 모든 수열 $\{a_n\}$ 에 대하여 $a_9$ 의 최댓값과 최솟값을 각각 $M, \; m$ 이라 할 때, $M+m$ 의 값은? (가) $a_7=40$ (나) 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$a_{n+2} = \begin{cases}a_{n+1}+a_n & (a_{n+1}\text{이 } 3\text{의 배수가 아닌 경우}) \\[10pt] \dfrac{1}{3}a_{n+1} & (a_{n+1}\text{이 }3\text{의 배수인 경우})\end{cases}$$ 이다. ① $216$ ② $218$ ③ $220$ ④ $222$ ⑤ $224$ 더보기 정답 ⑤

수열 $\{a_n\}$ 의 첫째항부터 제 $n$ 항까지의 합을 $S_n$ 이라 하자. 두 자연수 $p, \; q$ 에 대하여 $S_n=pn^2-36n+q$ 일 때, $S_n$ 이 다음 조건을 만족시키도록 하는 $p$ 의 최솟값을 $p_1$ 이라 하자. 임의의 두 자연수 $i, \; j$ 에 대하여 $i \ne j$ 이면 $S_i \ne S_j$ 이다. $p=p_1$ 일 때, $|a_k|

자연수 $n$ 에 대하여 직선 $x=n$ 이 직선 $y=x$ 와 만나는 점을 ${\rm P}_n$, 곡선 $y=\dfrac{1}{20} x \left ( x +\dfrac{1}{3} \right )$ 과 만나는 점을 ${\rm Q}_n$, $x$ 축과 만나는 점을 ${\rm R}_n$ 이라 하자. 두 선분 ${\rm P}_n {\rm Q}_n$, ${\rm Q}_n{\rm R}_n$ 의 길이 중 작은 값을 $a_n$ 이라 할 때, $\sum \limits_{n=1}^{10} a_n$ 의 값은? ① $\dfrac{115}{6}$ ② $\dfrac{58}{3}$ ③ $\dfrac{39}{2}$ ④ $\dfrac{59}{3}$ ⑤ $\dfrac{119}{6}$ 더보기 정답 ⑤

등차수열 $\{a_n\}$ 이 다음 조건을 만족시킨다. (가) $a_6 + a_7 = -\dfrac{1}{2}$ (나) $a_l+a_m=1$ 이 되도록 하는 두 자연수 $l, \; m \; (l

첫째항이 양수이고 공차가 $2$ 인 등차수열 $\{ a_n \}$ 의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$ 이라 하자. $a_k=31$, $S_{k+10}=640$ 을 만족시키는 자연수 $k$ 에 대하여 $S_k$ 의 값은? ① $200$ ② $205$ ③ $210$ ④ $215$ ⑤ $220$ 더보기 정답 ⑤

실수 $a \; (a>1)$ 와 자연수 $n$ 에 대하여 직선 $x=n$ 이 두 함수 $$y=3a^x, \quad y=3a^{x-1}$$ 의 그래프와 만나는 점을 각각 ${\rm P}_n, \; {\rm Q}_n$ 이라 하자. 선분 ${\rm P}_n{\rm Q}_n$ 의 길이를 $l_n$, 사다리꼴 ${\rm P}_n{\rm Q}_n{\rm Q}_{n+2}{\rm P}_{n+2}$ 의 넓이를 $S_n$ 이라 하자. 두 실수 $L, \; S$ 에 대하여 $\sum \limits_{k=1}^{20} l_k =L$, $\sum \limits_{k=1}^5 S_{4k-3}=S$ 일 때, 다음은 $\dfrac{S}{L}=\dfrac{2}{5}$ 를 만족시키는 $a$ 의 값을 구하는 과정이다. 두 점 ${\rm ..