수악중독

수열 $\{a_n\}$ 의 일반항은 $$a_n=\log_2 \sqrt{\dfrac{2(n+1)}{n+2}}$$ 이다. $\sum \limits_{k=1}^m a_k$ 의 값이 $100$ 이하의 자연수가 되도록 하는 모든 자연수 $m$ 의 값의 합은? ① $150$ ② $154$ ③ $158$ ④ $162$ ⑤ $166$ 정답 ④

두 수열 $\{a_n\}, \; \{b_n\}$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대하여 다음 조건을 만족시킨다. (가) $a_{2n} = b_n+2$ (나) $a_{2n+1} = b_n-1$ (다) $b_{2n} = 3a_n -2$ (라) $b_{2n+1} = -a_n +3$ $a_{48} = 9$ 이고 $\sum \limits_{n=1}^{63} a_n - \sum \limits_{n-=1}^{31} b_n = 155$ 일 때, $b_{32}$ 의 값을 구하시오. 정답 $79$

자연수 $n$ 에 대하여 두 점 ${\rm A}(0, ~n+5)$, ${\rm B}(n+4, ~0)$ 과 원점 $\rm O$ 를 꼭짓점으로 하는 삼각형 $\rm AOB$ 가 있다. 삼각형 $\rm AOB$ 의 내부에 포함된 정사각형 중 한 변의 길이가 $1$ 이고 꼭짓점의 $x$ 좌표와 $y$ 좌표가 모두 자연수인 정사각형의 개수를 $a_n$ 이라 하자. $\sum \limits_{n=1}^8 a_n$ 의 값을 구하시오. 정답 $164$