수악중독

$a_{1}=3, a_{2}=10$ 인 수열 $\{a_{n}\}$ 과 모든 항이 양수인 등비수열 $\{\mathrm{b}_{n}\}$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대하여$$\sum_{k=1}^{n} \dfrac{a_{k}}{\mathrm{b}_{k}+1} = n^{2}+n$$을 만족시킨다. 다음은 $\displaystyle {\sum_{n=1}^{5} \dfrac{a_{n}}{n}}$ 의 값을 구하는 과정이다. $n=1$ 일 때 $\dfrac{a_{1}}{\mathrm{b}_{1}+1}=2$ 에서 $\mathrm{b}_{1}=\dfrac{1}{2}$ 이다.$2$ 이상의 모든 자연수 $n$ 에 대하여$\dfrac{a_{n}}{b_{n}+1} = \displaystyle {\sum_{k=1}^{n} \dfra..

수열 $\{a_{n}\}$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대하여$$a_{n} = \begin{cases} n & (n \text{ 이 } 5 \text{ 의 배수가 아닌 경우}) \\ -4n+10 & (n \text{ 이 } 5 \text{ 의 배수인 경우}) \end{cases}$$일 때, $20 \le \displaystyle {\sum_{k=1}^{m} a_{k}} 더보기정답 $67$

등비수열 $\{a_n\}$이 $$2(a_1 + a_4 + a_7) = a_4 + a_7 + a_{10} = 6$$을 만족시킬 때, $a_{10}$의 값은? ① $\dfrac{22}{7}$ ② $\dfrac{24}{7}$ ③ $\dfrac{26}{7}$ ④ $\dfrac{30}{7}$ ⑤ $\dfrac{32}{7}$ 더보기정답 ②

수열 $\{a_n\}$ 이 다음 조건을 만족시킨다. - $a_1 = 7$- $2$ 이상의 자연수 $n$ 에 대하여 $$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k = \frac{2}{3} a_n + \frac{1}{6} n^2 - \frac{1}{6} n + 10$$이다. 다음은 $\displaystyle \sum_{k=1}^{12} a_k + \sum_{k=1}^5 a_{2k+1}$ 의 값을 구하는 과정이다. $2$ 이상의 자연수 $n$ 에 대하여 $\displaystyle a_{n+1} = \sum_{k=1}^{n+1} a_k - \sum_{k=1}^n a_k$ 이므로$$a_{n+1} = \frac{2}{3} (a_{n+1} - a_n) + \boxed{\text{ (가) }}$$이고, 이..

수열 $\lbrace a_n \rbrace$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$이라 하자. $S_n = \dfrac{1}{n}$ 일 때, $a_1 + \displaystyle\sum_{k=2}^{7} \dfrac{1}{(k-1) \times a_k}$ 의 값은? ① $-34$ ② $-32$ ③ $-30$ ④ $-28$ ⑤ $-26$ 더보기정답

첫째항이 자연수이고 공차가 $-2$인 등차수열 $\lbrace a_n \rbrace$과 자연수 $k$가 $$a_4 \times a_5 \le 0, \quad \lvert a_1 - a_k \rvert = 4 \lvert a_k \rvert$$를 만족시킬 때, $a_1 + k$의 값은?① $11$ ② $12$ ③ $13$ ④ $14$ ⑤ $15$ 더보기정답

등비수열 $\lbrace a_n \rbrace$이 다음 조건을 만족시킬 때, $a_{10}$의 값은? (가) $2$ 이상의 모든 자연수 $n$에 대하여 $$a_n > a_1, \quad a_n = (a_4 + a_5 - 1) \times a_{n-1}$$ 이다. (나) $\displaystyle\sum_{n=1}^{3} a_n = \dfrac{6}{a_1 - a_2}$ ① $\dfrac{1}{12}$ ② $\dfrac{1}{6}$ ③ $\dfrac{1}{4}$ ④ $\dfrac{1}{3}$ ⑤ $\dfrac{5}{12}$ 더보기정답 ③

다음 조건을 만족시키는 수열 $\lbrace a_n \rbrace$에 대하여 $12(a_{14}+a_{15})$의 값을 구하시오. (가) 모든 자연수 $n$에 대하여 $$a_{n+1} =\begin{cases}\dfrac{1}{a_n} - 1 & (a_n > 0) \\[5pt]- a_n & (a_n \le 0)\end{cases}$$ (나) $a_1 > 6$이고, $a_1 + a_5 + a_9 + a_{13} = 13$이다. 더보기정답 $28$

모든 항이 정수이고 다음 조건을 만족시키는 모든 수열 $\{a_n\}$에 대하여 $\displaystyle \sum_{n=1}^{30} a_n$ 의 최댓값과 최솟값을 각각 $M, \; m$이라 할 때, $M - m$의 값은? 모든 자연수 $n$에 대하여 $3a_n^2 + 2n a_n - 8n^2 = 0$이다. ① $540$ ② $550$ ③ $560$ ④ $570$ ⑤ $580$ 더보기정답 ②

실수 $k$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 수열 $\{a_n\}$이 있다. $a_1 = 3$이고, 모든 자연수 $n$에 대하여 $$a_{n+1} =\begin{cases}|a_n + n| & (a_n $a_4 \times a_5 = 0$이 되도록 하는 $k$의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$이라 할 때, $M + m = \dfrac{q}{p}$이다. $p + q$의 값을 구하시오. (단, $p, \; q$는 서로소인 자연수이다.) 더보기정답 $63$