수악중독

상수 $k\; (k>1)$ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 수열 $\{a_n\}$ 이 있다. 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $a_n 1$ 이므로 방정식 $2^x=kx+1$ 은 오직 하나의 양의 실근 $d$ 를 갖는다. 따라서 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $a_{n+1}-a_n=d$ 이고, 수열 $\{a_n\}$ 은 공차가 $d$ 인 등차수열이다. 점 ${\rm Q}_n$ 의 좌표가 $\left ( a_{n+1}, \; 2^{a_n} \right )$ 이므로 $$A_n = \dfrac{1}{2} (a_{n+1} - a_n ) \left ( 2^{a_{n+1}}-2^{a_n} \right )$$ 이다. $\dfrac{A_3}{A_1} = 16$ 이므로 $d$ 의 값은 $\boxed{ \; (가) \; }..

수열 $\{a_n\}$ 은 $0

수열 $\{a_n\}$ 은 $0

수열 $\{a_n\}$ 이 $a_1 = 10$ 이고 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$a_{n+1} = \begin{cases} a_n-n & (a_n \ge 0) \\[10pt] -n^2 \times a_n & (a_n < 0) \end{cases}$$ 을 만족시킨다. $a_n

수열 $\{a_n\}$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$a_{n+1} = \begin{cases} a_n -2 & (a_n \ge 0) \\[10pt] n \times a & (a_n

다음은 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$\sum \limits_{k=1}^n \dfrac{k \left (2^{k+2} - 3k-4 \right )}{4^{k+1}} = \left ( 1- \dfrac{n+2}{2^{n+1}} \right )^2 \;\; \cdots \cdots \; (*)$$ 이 성립함을 수학적 귀납법을 이용하여 증명한 것이다. $({\rm i}) \; n=1$ 일 때 $$(좌변)=(우변)=\boxed{ \; (가) \; }$$ $\;\;\;~~$이므로 $(*)$ 이 성립한다. $({\rm ii}) \; n=m$ 일 때, $(*)$ 이 성립한다고 가정하면 $$\sum \limits_{k=1}^m \dfrac{k \left ( 2^{k+2} -3k -4 \right )}{4^{k+1}..

두 수열 $\{a_n\}, \; \{b_n\}$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$a_n + b_n = 2^{\frac{n+1}{2}}, \; \; a_n b_n = 1- 2^{n-1} $$ 을 만족시킬 때, $\sum \limits_{k=1}^9 \left ( a_k ^2 + b_k ^2 \right )$ 의 값은? ① $3040$ ② $3044$ ③ $3048$ ④ $3052$ ⑤ $3056$ 더보기 정답 ③

다음 조건을 만족시키는 자연수 $a, \; b, \; c$ 의 모든 순서쌍 $(a, \; b, \; c)$ 의 개수를 구하시오. (가) $a

공차가 정수인 두 등차수열 $\{a_n\}, \; \{b_n\}$ 이 다음 조건을 만족시킨다. (가) $a_1 >0$ (나) 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $(2a_n +1)(2b_n+1) = 4n^2 - 4n -3 $ 이다. $\sum \limits_{k=1}^{10} (3a_k + b_k)$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $200$

수열 $\{a_n\}$ 은 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$a_{n+2} = \begin{cases} 2a_n +a_{n+1} & (a_n \le a_{n+1}) \\ a_n + a_{n+1} & (a_n > a_{n+1}) \end{cases}$$ 를 만족시킨다. $a_3 =2, \; a_6=19$ 가 되도록 하는 모든 $a_1$ 의 값의 합은? ① $-\dfrac{1}{2}$ ② $-\dfrac{1}{4}$ ③ $0$ ④ $\dfrac{1}{4}$ ⑤ $\dfrac{1}{2}$ 더보기 정답 ②