수악중독

한 변의 길이가 $4$ 인 정삼각형 $\rm ABC$ 를 한 면으로 하는 사면체 $\rm ABCD$ 의 꼭짓점 $\rm A$ 에서 평면 $\rm BCD$ 에 내린 수선의 발을 $\rm H$ 라 할 때, 점 $\rm H$ 는 삼각형 $\rm BCD$ 의 내부에 놓여 있다. 직선 $\rm DH$ 가 선분 $\rm BC$ 와 만나는 점을 $\rm E$ 라 할 때, 점 $\rm E$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\angle \rm AEH = \angle DAH$ (나) 점 $\rm E$ 는 선분 $\rm CD$ 를 지름으로 하는 원 위의 점이고 $\overline{\rm DE}=4$ 이다. 삼각형 $\rm AHD$ 의 평면 $\rm ABD$ 위로의 정사영의 넓이는 $\dfrac{q}{p}$ 이다. $p..

그림과 같이 한 변의 길이가 $8$ 인 정사각형 $\rm ABCD$ 에 두 선분 $\rm AB, \; CD$ 를 각각 지름으로 하는 두 반원이 붙어 있는 모양의 종이가 있다. 반원의 호 $\rm AB$ 의 삼등분점 중 점 $\rm B$ 에 가까운 점을 $\rm P$ 라 하고, 반원의 호 $\rm CD$ 를 이등분하는 점을 $\rm Q$라 하자. 이 종이에서 두 선분 $\rm AB$ 와 $\rm CD$ 를 접는 선으로 하여 두 반원을 접어 올렸을 때, 두 점 $\rm P, \; Q$ 에서 평면 $\rm ABCD$ 에 내린 수선의 발을 각각 $\rm G, \; H$ 라 하면 두 점 $\rm G, \; H$ 는 정사각형 $\rm ABCD$ 의 내분에 놓여 있고, $\overline{\rm PG} = \sqrt..

[그림 1]과 같이 $\overline{\rm AB}=3, \; \overline{\rm AD}=2\sqrt{7}$ 인 직사각형 $\rm ABCD$ 모양의 종이가 있다. 선분 $\rm AD$ 의 중점을 $\rm M$ 이라 하자. 두 선분 $\rm BM, \; CM$ 을 접는 선으로 하여 [그림 2]와 같이 두 점 $\rm A, \; D$ 가 한 점 $\rm P$ 에서 만나도록 종이를 접었을 때, 평면 $\rm PMB$ 과 평면 $\rm BCM$ 이 이루는 각의 크기를 $\theta$ 라 하자. $\cos \theta$ 의 값은? (단, 종이의 두께는 고려하지 않는다.) ① $\dfrac{17}{27}$ ② $\dfrac{2}{3}$ ③ $\dfrac{19}{27}$ ④ $\dfrac{20}{27}$ ⑤ ..

그림과 같이 평면 $\alpha$ 위에 있는 서로 다른 두 점 $\rm A, \; B$ 와 평면 $\alpha$ 위에 있지 않은 서로 다른 네 점 $\rm C, \; D, \; E, \; F$ 가 있다. 사각형 $\rm ABCD$ 는 한 변의 길이가 $6$ 인 정사각형이고 사각형 $\rm ABEF$ 는 $\overline{\rm AF}=12$ 인 직사각형이다. 정사각형 $\rm ABCD$ 의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영의 넓이는 $18$ 이고, 점 $\rm F$ 의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영을 $\rm H$ 라 하면 $\overline{\rm FH}=6$ 이다. 정사각형 $\rm ABCD$ 의 평면 $\rm ABEF$ 위로의 정사영의 넓이는? (단, $0

좌표공간에서 점 ${\rm A}(0, \; 0, \; 1)$ 을 지나는 직선이 중심이 점 ${\rm C}(3, \; 4, \; 5)$ 이고 반지름의 길이가 $1$ 인 구와 한 점 $\rm P$ 에서만 만난다. 세 점 $\rm A, \; C,\; P$ 를 지나는 원의 $xy$ 평면 위로의 정사영의 넓이의 최댓값은 $\dfrac{q}{p}\sqrt{41}\pi$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 정답 $9$