수악중독

그림과 같이 $$\overline{\rm AB}=4, \; \overline{\rm CD}=8, \; \overline{\rm BC}=\overline{\rm BD}=4\sqrt{5}$$ 인 사면체 $\rm ABCD$ 에 대하여 직선 $\rm AB$ 와 평면 $\rm ACD$ 는 서로 수직이다. 두 선분 $\rm CD, \; DB$ 의 중점을 각각 $\rm M, \; N$ 이라 할 때, 선분 $\rm AM$ 위의 점 $\rm P$ 에 대하여 선분 $\rm DB$ 와 선분 $\rm PN$ 은 서로 수직이다. 두 평면 $\rm PDB$ 와 $\rm CDB$ 가 이루는 예각의 크기를 $\theta$ 라 할 때, $40 \cos ^2 \theta$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $25$

좌표공간에서 두 점 ${\rm A}(3, \; -3, \; 3)$, ${\rm B}(-2, \; 7, \; -2)$ 에 대하여 선분 $\rm AB$ 를 포함하고 구 $x^2+y^2+z^2=1$ 에 접하는 두 평면을 $\alpha, \; \beta$ 라 하자. 두 평면 $\alpha, \; \beta$ 와 구 $x^2+y^2+z^2=1$ 의 접점을 각각 $\rm C, \; D$ 라 할 때, 사면체 $\rm ABCD$ 의 부피는 $\dfrac{q}{p}\sqrt{3}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 정답 $29$

한 변의 길이가 $12$ 인 정삼각형 $\rm BCD$ 를 한 면으로 하는 사면체 $\rm ABCD$ 의 꼭짓점 $\rm A$ 에서 평면 $\rm BCD$ 에 내린 수선의 발을 $\rm H$ 라 할 때, 점 $\rm H$ 는 삼각형 $\rm BCD$ 의 내부에 놓여 있다. 삼각형 $\rm CHD$ 의 넓이는 삼각형 $\rm BCH$ 의 넓이의 $3$ 배, 삼각형 $\rm DBH$ 의 넓이는 삼각형 $\rm BCH$ 넓이의 $2$ 배이고, $\overline{\rm AH}=3$ 이다. 선분 $\rm BD$ 의 중점을 $\rm M$, 점 $\rm A$ 에서 선분 $\rm CM$ 에 내린 수선의 발을 $\rm Q$ 라 할 때, 선분 $\rm AQ$ 의 길이는? ① $\sqrt{11}$ ② $2\sqrt{3}$..

그림과 같이 평면 $\alpha$ 위에 중심이 점 $\rm A$ 이고 반지름의 길이가 $\sqrt{3}$ 인 원 $C$ 가 있다. 점 $\rm A$ 를 지나고 평면 $\alpha$ 에 수직인 직선 위의 점 $\rm B$ 에 대하여 $\overline{\rm AB}=3$ 이다. 원 $C$ 위의 점 $\rm P$ 에 대하여 원 $D$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 선분 $\rm BP$ 는 원 $D$ 의 지름이다.(나) 점 $\rm A$ 에서 원 $D$ 를 포함하는 평면에 내린 수선의 발 $\rm H$ 는 선분 $\rm BP$ 위에 있다. 평면 $\alpha$ 위에 $\overline{\rm AX}=5$ 인 점 $\rm X$ 가 있다. 점 $\rm P$ 가 원 $C$ 위를 움직일 때, 원 $D$ 위의 점..

$xy$ 평면 위의 직선 $x=1$ 위의 임의의 점을 $\rm P$, 두 구 $$\begin{aligned} (x+1)^2+y^2+(z-4)^2 &=1, \\[10pt] (x-9)^2+(y-10)^2+(z+4)^2&=1\end{aligned} $$ 위의 임의의 점을 각각 $\rm Q, R$ 이라 하자. 이때 $\overline{\rm PQ}+\overline{\rm PR}$ 의 최솟값을 $m$ 이라 할 때, $(m+2)^2$ 의 값을 구하시오. 정답 $280$

좌표공간에 한 직선 위에 있지 않은 세 점 $\rm A, \; B, \; C$ 가 있다. 다음 조건을 만족시키는 평면 $\alpha$ 에 대하여 각 점 $\rm A, \; B, \; C$ 와 평면 $\alpha$ 사이의 거리 중에서 가장 작은 값을 $d(\alpha)$ 라 하자. (가) 평면 $\alpha$ 는 선분 $\rm AC$ 와 만나고, 선분 $\rm BC$ 와도 만난다. (나) 평면 $\alpha$ 는 선분 $\rm AB$ 와 만나지 않는다. 위의 조건을 만족시키는 평면 $\alpha$ 중에서 $d(\alpha)$ 가 최대가 되는 평면을 $\beta$ 라 할 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. 평면 $\beta$ 는 세 점 $\rm A, \; B, \; C$ 를 지나는 평면과 수..

평면 $\alpha$ 위에 한 변의 길이가 $16$ 인 정삼각형 $\rm ABC$ 가 있고, 세 꼭짓점 $\rm A, \; B, \; C$ 를 각각 중심으로 하고 반지름의 길이가 $8$ 인 세 원 $A,\; B, \; C$ 가 있다. 세 원 $A, \; B, \; C$ 를 각각 밑면으로 하고 높이가 모두 $15$ 인 세 원뿔의 꼭짓점을 각각 $\rm A', \; B',\; C'$ 라 할 때, 세 점 $\rm A', \; B', \; C'$ 을 지나는 평면을 $\beta$ 라 하자. 평면 $\beta$ 에 접하고 세 원뿔에 모두 접하는 구의 반지름의 길이는 $\dfrac{q}{p}\sqrt{3}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 정답 $21$

그림과 같이 한 모서리의 길이가 $2$ 인 정육면체 $\rm ABCD-EFGH$ 와 평면 $\rm EFGH$ 위에 있으면서 중심이 점 $\rm H$ 이고 반지름의 길이가 $2$ 인 원을 아랫면, 평면 $\rm ABCD$ 위에 있으면서 중심이 점 $\rm D$ 이고 반지름의 길이가 $1$ 인 원을 윗면으로 하는 원뿔대가 있다. 이때, 선분 $\rm BF$ 의 중점 $\rm M$ 과 점 $\rm H$ 를 연결한 직선과 평행한 광선을 비추고 있다고 하자. 이 평행광선에 의해 원뿔대와 정육면체가 공유하는 입체의 그림자가 평면 $\rm EFGH$ 와 평행한 평면 $\alpha$ 위에 나타날 때, 이 그림자의 넓이를 $a\pi +b$ 라 하자. $a+b$ 의 값을 구하시오. (단, $a, \; b$ 는 정수) 정답..

그림과 같이 평면 $\alpha$ 위에 밑면의 중심이 $ \rm O$이고 반지름의 길이가 $6$ 인 원뿔대가 놓여있고, 다른 밑면의 반지름의 길이는 $4$ 이다. 반지름의 길이가 모두 $\sqrt{3}$ 이고 중심이 ${\rm O}_k$ $(k=1, \; 2, \; 3, \; 4)$ 인 네 구 $S_k$ 가 원뿔대의 두 밑면에 동시에 접하고 $S_1, \; S_3$ 는 원뿔대의 옆면에 접한다. $S_2, \; S_4$ 가 각각 $S_1, \; S_3$ 에 모두 접할 때, 평면 $\alpha$ 와 원뿔대에 모두 접하고 중심이 $\rm A$ 인 구 $S$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 두 점 $\rm O_1, \; O_3$ 의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영이 각각 $\rm O_1', \; O_3'..

그림과 같이 원 $C_1 \; : \; x^2+y^2=9, \; z=0$ 와 $xy$ 평면 위의 직선 $l$ 이 점 $ \rm P$ 에서 접하고, 점 $(0,\; 0,\; 3)$ 을 중심으로 하는 원 $C_2$ 의 $xy$ 평면 위로의 정사영은 단축의 길이가 $2$ 이고 장축의 길이가 $2\sqrt{2}$ 인 타원이다. 원 $C_2$ 위의 점 중 $xy$ 평면까지의 거리가 최대인 점을 $\rm Q$, 원 $C_1$ 위의 점 중 $\rm Q$ 와의 거리가 최소인 점을 $\rm R$ 이라 할 때, 두 점 $\rm Q, \; R$ 을 지나는 평면 중 원 $C_1$ 와 오직 한점에서 만나는 평면을 $\alpha$ 라 하자. 평면 $\alpha$ 와 직선 $l$ 의 교점을 $\rm S$ 라 할 때, 점 $\rm ..