수악중독

최고차항의 계수가 $4$ 인 삼차함수 $f(x)$ 와 실수 $t$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)=\displaystyle \int_t^x f(s) ds$$ 라 하자. 상수 $a$ 에 대하여 두 함수 $f(x)$ 와 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $f'(a) =0$ (나) 함수 $|~g(x)-g(a)~|$ 가 미분가능하지 않은 $x$ 의 개수는 $1$ 이다. 실수 $t$ 에 대하여 $g(a)$ 의 값을 $h(t)$ 라 할 때, $h(3)=0$ 이고 함수 $h(t)$ 는 $t=2$ 에서 최댓값 $27$ 을 가진다. $f(5)$ 의 값을 구하시오. 정답 $432$