기하와 벡터_공간도형과 공간좌표_직선과 평면이 이루는 각_난이도 중

그림과 같이 밑면의 반지름의 길이가 $7$ 인 원기둥과 밑면의 반지름의 길이가 $5$ 이고 높이가 $12$인 월뿔이 평면 $\alpha$ 위에 놓여 있고, 원뿔의 밑변의 둘레가 원기둥의 밑면의 둘레에 내접한다. 평면 $\alpha$ 와 만나는 원기둥의 밑면의 중심을 $\rm O$, 원뿔의 꼭짓점을 $\rm A$ 라 하자. 중심이 $\rm B$ 이고 반지름의 길이가 $4$ 인 구 $S$ 가 다음 조건을 만족한다.

 

(가) 구 $S$ 는 원기둥과 원뿔에 모두 접한다.

(나) 두 점 $\rm A, \;B$ 의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영이 각각 $\rm A', \;B'$ 일 때, $\angle \rm A'OB'=180^{\rm o}$ 이다. 

 

직선 $\rm AB$ 와 평면 $\alpha$ 가 이루는 예각의 크기를 $\theta$ 라 할 때, $\tan \theta =p$ 이다. $100p$ 의 값을 구하시오. (단, 원뿔의 밑면의 중심과 점 $\rm A'$ 은 일치한다.)

 

정답 $32$