수악중독

망원경에서 대물렌즈 지름의 길이를 구경이라 하고 천체로부터 오는 빛을 모으는 능력을 집광력이라고 한다. 구경이 $D \; (\rm mm)$ 인 망원경의 집광력 $F$ 는 다음과 같은 관계식이 성립한다. $$F=kD^2 \; (\text{단, }k \text{는 양의 상수이다.})$$ 구경이 $40$ 인 만원경 $A$ 의 집광력은 구경이 $x$ 인 망원경 $B$ 의 집광력의 $2$ 배일 때, $x$ 의 값은? ① $10\sqrt{2}$ ② $15\sqrt{2}$ ③ $20\sqrt{2}$ ④ $25\sqrt{2}$ ⑤ $30\sqrt{2}$ 더보기 정답 ③ $k \times 40^2 = 2 \times k \times x^2$ $x^2=\dfrac{1600}{2}=800$ $x=20\sqrt{2}$

$x$ 에 대한 연립부등식 $$\begin{cases}x+2>3 \\ 3x

이차방정식 $x^2+x-1=0$ 의 서로 다른 두 근을 $\alpha, \; \beta$ 라 하자. 다항식 $P(x)=2x^2-3x$ 에 대하여 $\beta P(\alpha) + \alpha P(\beta)$ 의 값은? ① $5$ ② $6$ ③ $7$ ④ $8$ ⑤ $9$ 더보기 정답 ④ 이차방정식 근과 계수와의 관계로부터 $\alpha+\beta=-1, \; \alpha \beta = -1$ $\begin{aligned}\beta P(\alpha) + \alpha P(\beta) &= \beta \left (2 \alpha^2-3 \alpha \right ) + \alpha \left (2\beta^2 - 3\beta \right ) \\ &=2\alpha^2\beta - 3 \alpha\beta +2..

두 자연수 $a, \; b \; (a

한 변의 길이가 $a$ 인 정사각형 $\rm ABCD$ 와 한 변의 길이가 $b$ 인 정사각형 $\rm EFGH$ 가 있다. 그림과 같이 네 점 $\rm A, \; E, \; B, \; F$ 가 한 직선 위에 있고 $\overline{\rm EB}=1, \; \overline{\rm AF}=5$ 가 되도록 두 정사각형을 겹치게 놓았을 때, 선분 $\rm CD$ 와 선분 $\rm HE$ 의 교점을 $\rm I$ 라 하자. 직사각형 $\rm EBCI$ 의 넓이가 정사각형 $\rm EFGH$ 의 넓이의 $\dfrac{1}{4}$ 일 때, $b$ 의 값은? (단, $1

다음은 $x$ 에 대한 방정식 $$\left (x^2+ax+a \right ) \left (x^2+x+a \right )=0$$ 의 근 중 서로 다른 허근의 개수가 $2$ 이기 위한 실수 $a$ 값의 범위를 구하는 과정이다. (1) $a=1$ 인 경우 주어진 방정식은 $\left (x^2+x+1 \right)^2=0$ 이다. 이때, 방정식 $x^2+x+1=0$ 의 근은 $x=\dfrac{-1 \pm \sqrt{\boxed{ (가) }}i}{2}$ (단, $i=\sqrt{-1}$) 이므로 방정식 $\left (x^2+x+1 \right )^2 = 0$ 의 서로 다른 허근의 개수는 $2$ 이다. (2) $a \ne 1$ 인 경우 방정식 $x^2+ax+a=0$ 의 근은 $x=\dfrac{-a \pm \sqrt..

그림과 같이 좌표평면 위의 네 점 $\rm O(0, \; 0)$, $\rm A(1, \; 0)$, $\rm B(1, \; 2)$, $\rm C(0, \; 1)$ 을 꼭짓점으로 하는 사각형 $\rm OABC$ 가 있다. 실수 $k \; (0 < k< 1)$ 에 대하여 직선 $y=k$ 가 세 선분 $\rm OC, \; OB, \; AB$ 와 만나는 점을 각각 $\rm D, \; E, \; F$ 라 하자. 삼각형 $\rm OED$ 의 넓이를 $S_1$, 사각형 $\rm OAFE$ 의 넓이를 $S_2$, 삼각형 $\rm EFB$ 의 넓이를 $S_3$, 사각형 $\rm DEBC$ 의 넓이를 $S_4$ 라 할 때, $(S_1 - S_3)^2 + (S_2 -S_4)^2$ 의 최솟값은? ① $\dfrac{1}{8}$ ..

두 이차함수 $$\begin{aligned} f(x) &= (x-a)^2-a^2 \\ g(x) &=-(x-2a)^2+4a^2+b\end{aligned}$$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 방정식 $f(x)=g(x)$ 는 서로 다른 두 실근 $\alpha, \; \beta$ 를 갖는다. (나) $\beta-\alpha = 2$ 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, $a, \; b$ 는 상수이다.) ㄱ. $a=1$ 일 때, $b=-\dfrac{5}{2}$ ㄴ. $f(\beta) - g(\alpha) \le g(2a)-f(a)$ ㄷ. $g(\beta) = f(\alpha) + 5a^2+b$ 이면 $b=-16$ ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 더보기 정답 ⑤

$x$ 에 대한 삼차방정식 $$x^3-x^2+kx-k=0$$ 이 허근 $3i$ 와 실근 $\alpha$ 를 가질 때, $k+\alpha$ 의 값을 구하시오. (단, $k$ 는 실수이고, $i=\sqrt{-1}$ 이다.) 더보기 정답 $10$ $x^2(x-1)+k(x-1)=0$ $(x-1)\left (x^2+k \right )=0$ 따라서 주어진 방정식이 실근 $x=1$ 과 허근 $\pm \sqrt{k}i$ 를 갖는다. $\therefore k=9, \; \alpha = 1$ $\therefore k+ \alpha = 9+1=10$

실수 $a$ 에 대하여 복소수 $z=a+2i$ 가 $\overline{z}=\dfrac{z^2}{4i}$ 을 만족시킬 때, $a^2$ 의 값을 구하시오. (단, $i=\sqrt{-1}$ 이고 $\overline{z}$ 는 $z$ 의 켤레복소수이다.) 더보기 정답 $12$