고차방정식_난이도 중하 (2019년 6월 전국연합 고1 26번)

 

 

$x$ 에 대한 삼차방정식 $$x^3-x^2+kx-k=0$$ 이 허근 $3i$ 와 실근 $\alpha$ 를 가질 때, $k+\alpha$ 의 값을 구하시오. (단, $k$ 는 실수이고, $i=\sqrt{-1}$ 이다.)

 

정답 $10$

$x^2(x-1)+k(x-1)=0$

$(x-1)\left (x^2+k \right )=0$

따라서 주어진 방정식이 실근 $x=1$ 과 허근 $\pm \sqrt{k}i$ 를 갖는다.

$\therefore k=9, \; \alpha = 1$

$\therefore k+ \alpha = 9+1=10$