이차방정식 근과 계수와의 관계_난이도 중하 (2019년 6월 전국연합 고1 16번)

 

 

이차방정식 $x^2+x-1=0$ 의 서로 다른 두 근을 $\alpha, \; \beta$ 라 하자. 다항식 $P(x)=2x^2-3x$ 에 대하여 $\beta P(\alpha) + \alpha P(\beta)$ 의 값은?

 

① $5$          ② $6$          ③ $7$          ④ $8$          ⑤ $9$

 

정답 ④

이차방정식 근과 계수와의 관계로부터 $\alpha+\beta=-1, \; \alpha \beta = -1$

 

$\begin{aligned}\beta P(\alpha) + \alpha P(\beta) &= \beta \left (2 \alpha^2-3 \alpha \right ) + \alpha \left (2\beta^2 - 3\beta \right ) \\ &=2\alpha^2\beta - 3 \alpha\beta +2\alpha\beta^2-3\alpha \beta \\ &= 2\alpha\beta(\alpha+\beta) - 6\alpha\beta \\ &=2 \times (-1) \times (-1) - 6 \times (-1) \\ &= 8\end{aligned}$