수악중독

일차식 $f(x)$ 에 대하여 다항식 $x^3+1-f(x)$ 가 $(x+1)(x+a)^2$ 으로 인수분해될 때, $f(7)$ 의 값은? (단, $a$ 는 상수이다.) ① $2$ ② $4$ ③ $6$ ④ $8$ ⑤ $10$ 더보기 정답 ③

두 양수 $a, \; b$ 에 대하여 좌표평면 위의 점 ${\rm P}(a, \; b)$ 를 지나고 직선 $\rm OP$ 에 수직인 직선이 $y$ 축과 만나는 점을 $\rm Q$ 라 하자. 점 ${\rm R} \left (-\dfrac{1}{a}, \; 0 \right )$ 에 대하여 삼각형 $\rm OQR$ 의 넓이의 최솟값은? (단 $\rm O$ 는 원점이다.) ① $\dfrac{1}{2}$ ② $1$ ③ $\dfrac{3}{2}$ ④ $2$ ⑤ $\dfrac{5}{2}$ 더보기 정답 ②

좌표평면 위에 원 $C:x^2+y^2=r^2 \; (r>0)$ 과 직선 $l:2x-2y+\sqrt{6}r=0$ 이 있다. 원 $C$ 와 직선 $l$ 이 만나는 두 점을 각각 $\rm A, \; B$ 라 할 때, 호 $\rm AB$ 와 선분 $\rm AB$ 로 둘러싸인 부분 중에서 원점 $\rm O$ 를 포함하지 않는 부분의 넓이를 $S(r)$ 라 하자. 다음은 $S(r)$ 를 구하는 과정이다. 점 $\rm O$ 에서 직선 $l$ 에 내린 수선의 발을 $\rm H$ 라 하면 선분 $\rm OH$ 의 길이는 점 $\rm O$ 와 직선 $l$ 사이의 거리이므로 $\overline{\rm OH}=\boxed{ (가) }$ 삼각형 $\rm OAB$ 에서 $\overline{\rm OA}=r$ 이므로 삼각형 $\r..

좌표평면 위에 두 점 $\rm A(2, \; 0), \; B(0, \; 6)$ 이 있다. 다음 조건을 만족시키는 두 직선 $l, \; m$ 의 기울기의 합의 최댓값은? (단 $\rm O$ 는 원점이다.) (가) 직선 $l$ 은 점 $\rm O$ 를 지난다. (나) 두 직선 $l$ 과 $m$ 은 선분 $\rm AB$ 위의 점 $\rm P$ 에서 만난다. (다) 두 직선 $l$ 과 $m$ 은 삼각형 $\rm OAB$ 의 넓이를 삼등분한다. ① $\dfrac{3}{4}$ ② $\dfrac{4}{5}$ ③ $\dfrac{5}{6}$ ④ $\dfrac{6}{7}$ ⑤ $\dfrac{7}{8}$ 더보기 정답 ①

그림과 같이 중심이 $\rm O$, 반지름의 길이가 $4$ 이고 중심각의 크기가 $90^{\rm o}$ 인 부채꼴 $\rm OAB$ 가 있다. 호 $\rm AB$ 위의 점 $\rm P$ 에서 두 선분 $\rm OA$, $\rm OB$ 에 내린 수선의 발을 각각 $\rm H, \; I$ 라 하자. 삼각형 $\rm PIH$ 에 내접하는 원의 넓이가 $\dfrac{\pi}{4}$ 일 때, $\overline{\rm PH}^3 + \overline{\rm PI}^3$ 의 값은? (단, 점 $\rm P$ 는 점 $\rm A$ 도 아니고 점 $\rm B$ 도 아니다.) ① $56$ ② $\dfrac{115}{2}$ ③ $59$ ④ $\dfrac{121}{2}$ ⑤ $62$ 더보기 정답 ②

그림과 같이 좌표평면에 원 $C:x^2+y^2=4$ 와 점 ${\rm A}(-2, \; 0)$ 이 있다. 원 $C$ 위의 제$1$사분면 위의 점 $\rm P$ 에서의 접선이 $x$ 축과 만나는 점을 $\rm B$, 점 $\rm P$ 에서 $x$ 축에 내린 수선의 발을 $\rm H$ 라 하자. $2\overline{\rm AH}=\overline{\rm HB}$ 일 때, 삼각형 $\rm PAB$ 의 넓이는? ① $\dfrac{10\sqrt{2}}{3}$ ② $4\sqrt{2}$ ③ $\dfrac{14\sqrt{2}}{3}$ ④ $\dfrac{16\sqrt{2}}{3}$ ⑤ $6\sqrt{2}$ 더보기 정답 ④

$9$ 이하의 자연수 $k$ 에 대하여 집합 $A_k$ 를 $$A_k = \{x \; | \; k-1 \le x \le k+1, \; x\text{는 실수}\}$$ 라 하자. 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $A_1 \cap A_2 \cap A_3 =\{2\}$ ㄴ. $9$ 이하의 두 자연수 $l, \; m$ 에 대하여 $|l-m| \le 2$ 이면 두 집합 $A_l$ 과 $A_m$ 은 서로소가 아니다. ㄷ. 모든 $A_k$ 와 서로소가 아니고 원소가 유한개인 집합 중 원소의 개수가 최소인 집합의 원소의 개수는 $4$ 이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ,ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 더보기 정답 ③

좌표평면에서 이차함수 $y=x^2-8x+1$ 의 그래프와 직선 $y=2x+6$ 이 만나는 두 점을 각각 $\rm A, \; B$ 라 하자. 삼각형 $\rm OAB$ 의 무게 중심의 좌표를 $(a, \; b)$ 라 할 때, $a+b$ 의 값을 구하시오. (단 $\rm O$ 는 원점이다.) 더보기 정답 $14$

좌표평면에서 직선 $y=t$ 가 두 이차함수 $y=\dfrac{1}{2}x^2+3$, $y=-\dfrac{1}{2}x^2+x+5$ 의 그래프와 만날 때, 만나는 서로 다른 점의 개수다 $3$ 인 모든 실수 $t$ 의 값의 합을 구하시오. 더보기 정답 $17$

복소수 $z=\dfrac{i-1}{\sqrt{2}}$ 에 대하여 $$z^n+\left ( z + \sqrt{2} \right )^n = 0$$ 을 만족시키는 $25$ 이하의 자연수 $n$ 의 개수를 구하시오. (단, $i=\sqrt{-1}$) 더보기 정답 $6$