점과 직선 사이의 거리_난이도 중 (2020년 11월 전국연합 고1 17번)

 

 

좌표평면 위에 원 $C:x^2+y^2=r^2 \; (r>0)$ 과 직선 $l:2x-2y+\sqrt{6}r=0$ 이 있다. 원 $C$ 와 직선 $l$ 이 만나는 두 점을 각각 $\rm A, \; B$ 라 할 때, 호 $\rm AB$ 와 선분 $\rm AB$ 로 둘러싸인 부분 중에서 원점 $\rm O$ 를 포함하지 않는 부분의 넓이를 $S(r)$ 라 하자. 다음은 $S(r)$ 를 구하는 과정이다.

 

점 $\rm O$ 에서 직선 $l$ 에 내린 수선의 발을 $\rm H$ 라 하면

선분 $\rm OH$ 의 길이는 점 $\rm O$ 와 직선 $l$ 사이의 거리이므로 

$\overline{\rm OH}=\boxed{ (가) }$

삼각형 $\rm OAB$ 에서 $\overline{\rm OA}=r$ 이므로

삼각형 $\rm OAB$ 의 넓이는 $\boxed{ (나) }$ 이다.

$S(r)$ 는 부채꼴 $\rm OAB$ 의 넓이와 삼각형 $\rm OAB$ 이 넓이의 차이므로

$S(r)=\pi r^2 \times \left ( \boxed{ (다) } \right ) - \boxed{ (나) }$ 

 

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 $f(r), \; g(r)$ 라 하고, (다)에 알맞은 수를 $k$ 라 할 때, $f\left (\dfrac{1}{k} \right ) \times g \left ( \dfrac{1}{k} \right )$ 의 값은?

 

① $57$          ② $63$          ③ $69$          ④ $75$          ⑤ $81$

 

정답 ⑤