수악중독

모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(3x)=9f(x)$ 를 만족하는 다항함수 $f(x)$ 가 있다. $x=1$ 에서 연속인 함수 $g(x)$ $g\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ll} {\dfrac{{f\left( x \right) - 1}}{{x - 1}}}&{\left( {x \ne 1} \right)}\\ {f'\left( 1 \right)}&{\left( {x = 1} \right)} \end{array}} \right.$를 으로 정의할 때, $g(12)$ 의 값을 구하시오. 정답 $13$

자연수 $a, \;b$ 에 대하여 함수 $f(x)= \lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{ax^{n+b}+2x-1}{x^n+1} \;\;(x>0)$ 이 $x=1$ 에서 미분가능할 때, $a+10b$ 의 값을 구하시오. 정답 $21$

삼차함수 $f(x)=x^3+6x^2+15x+a$ 와 실수 $t$ 에 대하여 $f(t)$ 와 $f'(t)$ 중 크지 않은 값을 $g(t)$ 라 하자. $g(t)$ 가 실수 전체의 집합에서 미분 가능할 때, $a$ 의 값은? ① $10$ ② $12$ ③ $14$ ④ $16$ ⑤ $18$ 정답 ④

이차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $g(x)=f(x)e^{-x}$ 이 다음 조건을 만족시킨다. (가) 점 $\left ( 1,\; g(1) \right )$ 과 점 $\left ( 4,\; g(4) \right )$ 는 곡선 $y=g(x)$ 의 변곡점이다. (나) 점 $(0, \;k)$ 에서 곡선 $y=g(x)$ 에 그은 접선의 개수가 $3$ 인 $k$ 의 값의 범위는 \(-1

그림과 같이 좌표평면 위의 점 $\rm A(3,\;0)$ 과 삼차함수 $f(x)=x^3 -3x^2 -x+3$ 의 그래프 위에 점 $\rm A$ 가 아닌 점 $\rm P$ 가 있다. 직선 $\rm AP$ 와 곡선 $y=f(x)$ 가 두 점 $\rm A, \; P$ 가 아닌 점 $\rm Q$ 에서 만나도록 하는 직선 $\rm AP$ 의 기울기를 $m$ 이라 할 때, $m$ 의 값의 범위는 $\alpha \beta$ 이다. $\alpha +\beta$ 의 값은? ① $5$ ② $6$ ③ $7$ ④ $8$ ⑤ $9$ 정답 ③

삼차함수 $f(x)$ 가 구간 $[a, \;b]$ 에서 $f(a)f(b) a_{n+1}$ 이다. ㄷ. $\lim \limits_{n \to \infty} a_n =\alpha$ 이면 \(a

오른쪽 그림과 같이 $f(x)=x^2$ 의 그래프 위의 두 점 \( {\rm P} \left ( p, \; p^2 \right ) , \;\; {\rm Q} \left ( q, \; q^2 \right ) \;\; (q

최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 가 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(-x)=-f(x)$ 를 만족시킨다. 닫힌 구간 $[t,\; t+1]$ 에서 함수 $f(x)$ 의 최솟값을 $g(t)$라 할 때, $1\leq t \leq 2$ 에서 $g(t)$ 는 상수함수이다. 이때, $f(5)$ 의 값을 구하시오. 정답 $65$

함수 $f(x)=kx^2 e^{-x} \;\;(k>0)$ 과 실수 $t$ 에 대하여 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $\left ( t,\; f(t) \right )$ 에서 $x$ 축까지의 거리와 $y$ 축까지의 거리 중 커지 않은 값을 $g(t)$ 라 하자. 함수 $g(t)$ 가 한 점에서만 미분가능하지 않도록 하는 $k$ 의 최댓값은? ① $\dfrac{1}{e}$ ② $\dfrac{1}{\sqrt{e}}$ ③ $\dfrac{e}{2}$ ④ $\sqrt{e}$ ⑤ $e$ 정답 ⑤

최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 와 자연수 $k$ 에 대하여 함수 $g(x)=\left\{ {\begin{array}{ll} {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{{x^k}}}}&{\left( {x \ne 0} \right)}\\ a&{\left( {x = 0} \right)}\end{array}} \right.$ 가 $x=0$ 에서 미분가능할 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? (단, $a$ 는 상수이다.) ㄱ. $f(0)=0$ ㄴ. $g'(0)=1$ ㄷ. $k=2$ 이고 $g(0)=1$ 이면 $f(1)=2$ ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③