수악중독

함수 $f(x)$ 에 대하여 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은?ㄱ. 함수 $f(x)$ 가 $x=c$ 에서 미분가능하면 $x=c$ 에서 연속이다. (단, $c$ 는 실수)ㄴ. 극한값 $\lim \limits_{h \to 0} \dfrac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}$ 가 존재하면 함수 $f(x)$ 는 $x=a$ 에서 미분가능하다. (단, $a$ 는 실수)ㄷ. 극한값 $\lim \limits_{h \to 0} \dfrac{f \left ( 1+h^2 \right ) -f(1)}{h^2}$ 이 존재하면 함수 $f(x)$ 는 $x=1$ 에서 미분가능하다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ①

함수 $f(x)$ 에 대하여 $f'(x)=(x-1)^3$ 이다 함수 $f(x)$ 의 극값을 $M$, 함수 $y=f(x)$ 의 그래프 위의 두 점 ${\rm A}(0,\; f(0)), \; {\rm B}(2, \; f(2))$ 에서 접하는 두 접선의 교점의 $y$ 좌표를 $N$ 이라 할 때, $16(M-N)$ 의 값을 구하시오. 정답 12

이차함수 $y=f(x)$ 의 그래프 위의 한 점 $(a,\; f(a))$ 에서의 접선의 방정식을 $y=g(x)$ 라 하자. $h(x)=f(x)-g(x)$ 라 할 때, 에서 옳은 것을 모두 고른 것은? ㄱ. $h(x_1 )=h(x_2 )$ 를 만족시키는 서로 다른 두 실수 $x_1 ,\; x_2$ 가 존재한다. ㄴ. $h(x)$ 는 $x=a$ 에서 극소이다. ㄷ. 부등식 $\left | h(x) \right | < \dfrac{1}{100}$ 의 해는 항상 존재한다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ ④ ㄱ, ㄴ ⑤ ㄱ, ㄷ 정답 ⑤

최고차항의 계수가 $1$ 이고, \(f(0)=3,\; f'(3)

두 함수 $f(x)=5x^3 - 10x^2 +k,\;\; g(x)=5x^2 +2$ 가 있다. \(\{ x \;\vert \; 0

삼차함수 $y=f(x)$ 와 이차함수 $y=g(x)$ 의 도함수 $y=f~'(x)$ 와 $y=g'(x)$ 의 그래프가 그림과 같다. $f(0)=g(0),\;\;f(a)-g(a)0$ ㄴ. 방정식 $f(x)=g(x)$ 는 서로 다른 세 실근을 갖는다. ㄷ. 구간 $[a, \;b]$ 에서 함수 $f(x)-g(x)$ 는 $x=b$ 일 때 최댓값을 갖는다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ 정답 ⑤

오른쪽 그림과 같이 길이가 $10$인 선분 $\rm AB$ 위에 동점 $\rm P$가 있을 때, 선분 $\rm AP,\;BP$를 지름으로 하는 두 원의 넓이의 합을 $S$라 하자. 점 $\rm P$가 점 $\rm A$에서 출발하여 점 $\rm B$를 향해 매초 $1$의 속도로 움직이면 출발한 후 $6$초일 때, $S$의 순간변화율은? ① $2\pi$ ② $\pi$ ③ $\dfrac{\pi}{2}$ ④ $-\pi$ ⑤ $-2\pi$ 정답 ②

둘레의 길이가 $200\rm m$인 육상 트랙을 따라 갑, 을 두 사람이 같은 지점에서 출발하여 서로 같은 방향으로 달려가고 있다. 출발한 후 $t$분 동안 갑, 을이 움직인 거리가 각각 $t^3 +t \;(\rm m)$, ${\dfrac{3}{2}}t^2 +7t\;(\rm m)$일 때, 출발한 후 $10$분 동안 두 사람이 만나는 횟수를 구하시오. 정답 4번

함수 $y=x^3 +ax$의 그래프를 원점을 중심으로 양의 방향으로 $45^o$ 회전시켜 얻은 곡선이 실수 전체에서 정의된 어떤 함수 $y=f(x)$의 그래프가 되는 실수 $a$의 값의 범위는? ① $a\ge 1$ ② $a\ge 0$ ③ $a\le 1$ ④ $a\le -1$ ⑤ $0\le a \le 2$ 정답 ①

다음 그림과 같이 물체 $\rm P$ 는 원점 $\rm O$ 에서 $100 \rm m$ 떨어진 지점 $\rm A$ 를 항하여 움직이고, 물체 $\rm Q$ 는 $\rm A$ 에서 원점 $\rm O$ 를 향하여 움직이고 있다. $t$ 초 후의 두 물체 $\rm P, \;Q$ 의 위치 $f(t),\;g(t)$ 는 각각 $f(t)=at,\; g(t)=t^3 -6t^2 +100$ 이다. 물체 $\rm Q$ 가 움직이는 동안 물체 $\rm P$ 와 한 번만 만난다고 할 때, 상수 $a$ 의 값을 구하시오. 정답 15