수악중독

삼차함수 $f(x)=x^3 -3ax^2 +3(a+2)x+1$ 의 그래프와 직선 $y=t$ 의 교점의 개수를 $g(t)$ 라 하자. 함수 $g(t)$ 가 모든 실수 $t$ 에서 연속이 되게 하는 정수 $a$ 의 개수는? ① $0$ ② $1$ ③ $2$ ④ $3$ ⑤ $4$ 정답 ⑤

함수 $f(x)$ 가 \[f(\cos x)=\sin 2x + \tan x\;\; \left ( 0

곡선 $y=x^3 -3x$ 위의 원점이 아닌 한 점 $\rm P$ 에서의 접선을 $l_1$ 이라 하자. 직선 $l_1$ 과 곡선 $y=x^3 -3x$ 의 교점 중에서 점 $\rm P$ 가 아닌 점을 $\rm Q$ 라 할 때, 점 $\rm Q$ 에서의 접선을 $l_2$ 라 하자. 두 직선 $l_1 , \; l_2$ 의 기울기를 각각 $m_1 , \; m_2$ 라 할 때, $m_1 \geq 1$ 이면 $m_2 \geq \alpha$ 이다. 이때, $\alpha$ 의 최댓값을 구하시오. 정답 $13$

곡선 $y=\left ( \ln \dfrac{1}{ax} \right ) ^2$ 의 변곡점이 직선 $y=2x$ 위에 있을 때, 양수 $a$ 의 값은? ① $e$ ② $\dfrac{5}{4}e$ ③ $\dfrac{3}{2}e$ ④ $\dfrac{7}{4}e$ ⑤ $2e$ 정답 ⑤

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$ 의 도함수 $y=f'(x)$ 의 그래프가 다음 그림과 같을 때, 다음 보기의 설명 중 옳은 것을 모두 골라라. ㄱ. $y=f(x)$ 는 모든 점에서 미분가능하다. ㄴ. $f(x)=0$ 을 만족하는 $x$ 의 값은 $3$ 개다. ㄷ. $y=f(x)$ 의 극값은 $3$ 개다. 정답 ㄷ

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x)$ 에 대하여 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(-x)=-f(x)$ 일 때, $f(x)$ 가 미분가능하면 $f'(-x)=f'(x)$ 이다.ㄴ. 임의의 실수 $x$ 에 대하여 $\left | f(x) \right | \le Mx^2$ 이면 $f'(0)=0$ 이다. (단, $M$ 은 양의 상수이다.)ㄷ. $\lim \limits_{h \to 0} \dfrac{f(c+h)+f(c-h)-2f(c)}{h} =0$ 이면 $f(x)$ 는 $x=c$ 에서 미분 가능하다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③

아래 그림과 같이 삼차함수 $y=x^2 (3-x)$ 의 그래프와 직선 $y=mx$ 가 제 $1$사분면 위의 서로 다른 두 점 $\rm P, \; Q$ 에서 만난다. 이 때, 세 점 $\rm A(3,\;0),\; P, \;Q$ 를 꼭짓점으로 하는 $\triangle \rm APQ$ 의 넓이가 최대가 되게 하는 양수 $m$ 에 대하여 $10m$ 의 값을 구하시오. 정답 15

등식 $x^2 +3y^2 =9$ 를 만족시키는 실수 $x, \;y$ 에 대하여 $x^2 +xy^2$ 의 최솟값은? ① $-\dfrac{5}{3}$ ② $-1$ ③ $-\dfrac{1}{3}$ ④ $\dfrac{2}{3}$ ⑤ $2$ 정답 ①

그림은 삼차함수 $f(x)=x^3 -3x^2 +3x$ 의 그래프이다. 원점을 지나고 곡선 $y=f(x)$ 에 접하는 직선은 두 개이다. 두 접선과 곡선 $y=f(x)$ 의 교점 중 원점이 아닌 점들의 $x$ 좌표의 합을 $S$라 하자. 이때, $10S$ 의 값을 구하시오. 정답 45

모든 실수 $x$ 에 대하여 부등식 $3x^4 -8x^3 -6x^2 +24x \ge k-2 \sin \left (\dfrac{\pi}{2}x \right )$ 가 성립할 때, 상수 $k$ 의 최댓값은? ① $-23$ ② $-22$ ③ $-21$ ④ $-20$ ⑤ $-19$ 정답 ③