수악중독

$x>0$ 일 때, 함수 $f(x)=e^{-x}\cos x$ 가 극댓값을 갖는 $x$ 의 값을 작은 것부터 차례대로 $x_1 ,\; x_2,\; x_3,\; \cdots,\; x_n,\; \cdots$ 이라 하자. $\sum \limits_{n=1}^{\infty} f(x_n)$ 의 값은? (단, $e$ 는 자연로그의 밑이다.) ① $\dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{e^{\frac{\pi}{4}}}{e^{2 \pi}-1}$ ② $\dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{e^{\frac{\pi}{2}}}{e^{2 \pi}-1}$ ③ \( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{e^{\frac{3}{4}\pi}..

두 함수 $f(x)=\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1},\;\; g(x)=ax$ 에 대한 설명으로 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? (단, $a$ 는 실수이다.) ㄱ. 두 함수 $y=f(x),\; y=g(x)$ 의 그래프가 서로 다른 세 점에서 만날 때의 $a$ 값의 범위는 $a3\sqrt{3}$ 이다. ㄴ. 두 함수 $y=f(x),\; y=g(x)$ 의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만날 때의 $a$의 값은 $-3\sqrt{3}$ 또는 $3\sqrt{3}$ 이다. ㄷ. 두 함수 $y=f(x),\;y=g(x)$ 의 그래프가 한 점에서 만날 때의 $a$ 의 값의 범위는 \(-3\sqrt{3}

함수 $f(x)=\dfrac{x-\frac{1}{2}}{\left ( x^2 -2x+2 \right )^2 }$ 에 대한 설명으로 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $\left ( 1,\; \dfrac{1}{2} \right )$ 에서의 접선과 원점 사이의 거리는 $\dfrac{\sqrt{2}}{4}$ 이다. ㄴ. 함수 $f(x)$ 의 최솟값은 $-\dfrac{1}{8}$ 이다. ㄷ. 방정식 $f(x)-f(10)=0$ 의 서로 다른 실근의 개수는 $2$ 이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ⑤

두 상수 $a,\;b$ 에 대하여 함수 $f(x)=a \sin x + bx+1$ 이 극값을 가질 때, 다음 중 항상 옳은 것은? ① $a>b$ ② $a b^2$ ④ \(a^2

다항함수 $f(x)$ 에 대하여 다음 표는 $x$ 의 값에 따른 $f(x),\; f'(x),\;f''(x)$ 의 변화 중 일부를 나타낸 것이다. $x$ \(x

그림과 같이 함수 $f(x)$ 의 도함수 $f'(x)$ 의 그래프가 $y$ 축에 대하여 대칭이고 $x>0$ 일 때 위로 볼록하다. 함수 $f(x)$ 에 대하여 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? (단, $f'(-1)=f'(0)=f'(1)=0$ ) ㄱ. 함수 $f(x)$ 는 $x=0$ 에서 극값을 갖는다. ㄴ. $f(0)=0$ 이면 함수 $f(x)$ 의 극댓값과 극솟값의 합은 $0$ 이다. ㄷ. \(f(1)

실수 전체의 집합에서 이계도함수를 갖는 함수 $f(x)$ 에 대하여 점 ${\rm A} (a, \;f(a))$ 를 곡선 $y=f(x)$ 의 변곡점이라 하고, 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $\rm A$ 에서의 접선의 방정식을 $y=g(x)$ 라 하자. 직선 $y=g(x)$ 가 함수 $f(x)$ 의 그래프와 점 ${\rm B}(b,\;f(b))$ 에서 접할 때, 함수 $h(x)$ 를 $h(x)=f(x)-g(x)$ 라 하자. 에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, $a \ne b$ 이다.) ㄱ. $h'(b)=0$ ㄴ. 방정식 $h'(x)=0$ 은 $3$ 개 이상의 실근을 갖는다. ㄷ. 점 $(a, \;f(a))$ 는 곡선 $y=h(x)$ 의..

그림과 같이 반지름의 길이가 $40 \rm m$ 와 $30 \rm m$ 인 두 동심원으로 이루어져 있는 롤러스케이ㅡ 트랙이 있다. 센돌이와 느림이는 각각 $\rm A, \;B$ 지점에서 출발을 하는데, 센돌이는 $3 \pi \rm m/초$ 의 일정한 속력으로 긴 트랙을 시계 반대 방향으로 돌고, 느림이는 $2 \pi \rm m/초$ 의 일정한 속력으로 짧은 트랙을 센돌이와 같은 방향인 시계 반대 방향으로 돌고 있다. 이때 그림과 같이 센돌이와 느림이가 처음으로 트랙의 중심 $\rm O$ 에 대하여 서로 직각의 위치에 있는 순간, 두 사람이 멀어지는 속도는? (단, 센돌이와 느림이는 동시네 같이 출발하며, 점 $\rm B$ 는 선분 $\rm OA$ 위에 있고, 단위는 \(\rm..

좌표평면 위에 그림과 같이 중심각의 크기가 $90^{\rm o}$ 이고 반지름의 길이가 $10$ 인 부채꼴 $\rm OAB$ 가 있다. 점 $\rm P$ 가 점 $\rm A$ 에서 출발하여 호 $\rm AB$ 를 따라 매초 $2$ 의 이정한 속력으로 움직일 때, $\angle \rm AOP =30^{\rm o}$ 가 되는 순간 점 $\rm P$ 의 $y$ 좌표의 시간(초)에 대한 변화율은? ① $-\dfrac{1}{2}$ ② $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ③ $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ④ $-1$ ⑤ $-2$ 정답 ④

그림과 같이 좌표평면에서 원 $x^2+y^2=1$ 위의 점 $\rm P$ 가 점 $(1, \;0)$ 에서 출발하여 원점을 중심으로 매초 $\dfrac{1}{40}$(라디안)의 일정한 속력으로 원 위를 시계 반대 방향으로 움직이고 있다. 점 $\rm P$ 에서 $x$ 축에 평행한 직선을 그을 떄, 원과 직선으로 둘러싸인 어두운 부분의 넓이를 $S$ 라 하자. 점 $\rm P$ 가 점 $\left ( \dfrac{\sqrt{3}}{2},\; \dfrac{1}{2} \right )$ 을 지나는 순간, 넓이 $S$ 의 시간(초)에 대한 변화율은 $\dfrac{b}{a}$ 이다. $a+b$ 의 값을 구하시오. (단, $a$ 와 $b$ 는 서로소인 자연수이다.) 정..