수악중독

시각 $t=0$ 일 때 동시에 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 $\mathrm{P, \; Q}$ 의 시각 $t \; (t \ge 0)$ 에서의 속도가 각각 $$v_1(t)=3t^2-15t+k, \quad v_2(t)=-3t^2+9t$$ 이다. 점 $\mathrm{P}$ 와 점 $\mathrm{Q}$ 가 출발한 후 한 번만 만날 때, 양수 $k$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $18$

최고차항의 계수가 $1$ 이고 $f(0)=1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 와 양의 실수 $p$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $g'(0)=0$ (나) $g(x)=\begin{cases} f(x-p)-f(-p) & (x \lt 0) \\ f(x+p)-f(p) & (x \ge 0) \end{cases}$ $\displaystyle \int_0^p g(x) dx = 20$ 일 때, $f(5)$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $66$

그림과 같이 $1$ 보다 큰 두 실수 $a, \; k$ 에 대하여 직선 $y=k$ 가 두 곡선 $y=2 \log_a x +k, \; y=a^{x-k}$ 과 만나는 점을 각각 $\mathrm{A, \; B}$ 라 하고, 직선 $x=k$ 가 두 곡선 $y=2\log_a x+k, \; y=a^{x-k}$ 과 만나는 점을 각각 $\mathrm{C, \; D}$ 라 하자. $\mathrm{\overline{AB} \times \overline{CD}=85}$ 이고 삼각형 $\mathrm{CAD}$ 의 넓이가 $35$ 일 때, $a+k$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $12$

최고차항의 계수가 $1$인 사차함수 $f(x)$ 가 있다. 실수 $t$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $g(x)=|f(x)-t|$ 라 할 때, $\lim \limits_{x \to k} \dfrac{g(x)-g(k)}{|x-k|}$ 의 값이 존재하는 서로 다른 실수 $k$ 의 개수를 $h(t)$ 라 하자. 함수 $h(t)$ 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\lim \limits_{t \to 4+} h(t)=5$ (나) 함수 $h(t)$ 는 $t=-60$ 과 $t=4$ 에서만 불연속이다. $f(2)=4$ 이고 $f'(2) \gt 0$ 일 때, $f(4)+h(4)$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $729$

$5$ 명의 학생이 일정한 간격을 두고 원 모양의 탁자에 모두 둘러앉는 경우의 수는? (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) ① $16$ ② $20$ ③ $24$ ④ $28$ ⑤ $32$ 더보기 정답 ③ $(5-1)!=4!=24$

문자 $\mathrm{A, \; A, \; A, \; B, \; B, \; B, \; C, \; C}$ 가 하나씩 적혀 있는 $8$ 장의 카드를 모두 일렬로 나열할 때, 양 끝 모두에 $\mathrm{B}$ 가 적힌 카드가 놓이도록 나열하는 경우의 수는? (단, 같은 문자가 적혀 있는 카드끼리는 서로 구별하지 않는다.) ① $45$ ② $50$ ③ $55$ ④ $60$ ⑤ $65$ 더보기 정답 ④

서로 다른 공 $6$ 개를 남김없이 세 주머니 $\mathrm{A, \; B, \; C}$ 에 나누어 넣을 때, 주머니 $\mathrm{A}$ 에 넣은 공의 개수가 $3$ 이 되도록 나누어 넣는 경우의 수는? (단, 공을 넣지 않는 주머니가 있을 수 있다.) ① $120$ ② $130$ ③ $140$ ④ $150$ ⑤ $160$ 더보기 정답 ⑤

방정식 $a+b+c+3d=10$ 을 만족시키는 자연수 $a, \; b, \; c, \; d$ 의 모든 순서쌍 $(a, \; b, \; c, \; d)$ 의 개수는? ① $15$ ② $18$ ③ $21$ ④ $24$ ⑤ $27$ 더보기 정답 ②

원 모양의 식탁에 같은 종류의 비어 있는 $4$ 개의 접시가 일정한 간격을 두고 원형으로 놓여 있다. 이 $4$ 개의 접시에 서로 다른 종류의 빵 $5$ 개와 같은 종류의 사탕 $5$ 개를 다음 조건을 만족시키도록 남김없이 나누어 담는 경우의 수는? (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) (가) 각 접시에는 $1$ 개 이상의 빵을 담는다. (나) 각 접시에 담는 빵의 개수와 사탕의 개수의 합은 $3$ 이하이다. ① $420$ ② $450$ ③ $480$ ④ $510$ ⑤ $540$ 더보기 정답 ⑤

숫자 $1, \; 2, \; 3$ 중에서 중복을 허락하여 다음 조건을 만족시키도록 여섯 개를 선택한 후, 선택한 숫자 여섯 개를 모두 일렬로 나열하는 경우의 수를 구하시오. (가) 숫자 $1, \; 2, \; 3$ 을 각각 한 개 이상씩 선택한다. (나) 선택한 여섯 개의 수의 합이 $4$ 의 배수이다. 더보기 정답 $120$