수악중독

집합 $X=\{1, \; 2, \; 3, \; 4, \; 5\}$ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 $f:X \to X$ 의 개수를 구하시오. (가) 집합 $X$ 의 임의의 두 원소 $x_1, \; x_2$ 에 대하여 $x_1 < x_2$ 이면 $f(x_1) \le f(x_2)$ 이다. (나) $f(2) \ne 1$ 이고 $f(4) \times f(5)

수열 $\{a_n\}$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$3^n - 2^n < a_n < 3^n +2^n$$ 을 만족시킬 때, $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{a_n}{3^{n+1} + 2^n}$ 의 값은? ① $\dfrac{1}{6}$ ② $\dfrac{1}{3}$ ③ $\dfrac{1}{2}$ ④ $\dfrac{2}{3}$ ⑤ $\dfrac{5}{6}$ 더보기 정답 ②

등차수열 $\{a_n\}$ 에 대하여 $$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{a_{2n}-6n}{a_n+5}=4$$ 일 때, $a_2-a_1$ 의 값은? ① $-1$ ② $-2$ ③ $-3$ ④ $-4$ ⑤ $-5$ 더보기 정답 ③

두 수열 $\{a_n\}, \; \{b_n\}$ 에 대하여 $$\lim \limits_{n \to \infty} \left (n^2 +1 \right ) a_n = 3, \quad \lim \limits_{n \to \infty} \left (4n^2+1 \right ) (a_n + b_n)=1$$ 일 때, $\lim \limits_{n \to \infty} \left (2n^2+1 \right ) (a_n + 2b_n)$ 의 값은? ① $-3$ ② $-\dfrac{7}{2}$ ③ $-4$ ④ $-\dfrac{9}{2}$ ⑤ $-5$ 더보기 정답 ⑤

$a_1=3, \; a_2=-4$ 인 수열 $\{a_n\}$ 과 등차수열 $\{b_n\}$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$\sum \limits_{k=1}^n \dfrac{a_k}{b_k}=\dfrac{6}{n+1}$$ 을 만족시킬 때, $\lim \limits_{n \to \infty} a_n b_n$ 의 값은? ① $-54$ ② $-\dfrac{75}{2}$ ③ $-24$ ④ $-\dfrac{27}{2}$ ⑤ $-6$ 더보기 정답 ①

$a>0, \; a\ne 1$ 인 실수 $a$ 와 자연수 $n$ 에 대하여 직선 $y=n$ 이 $y$ 축과 만나는 점을 $\mathrm{A}_n$, 직선 $y=n$ 이 곡선 $y= \log_a (x-1)$ 과 만나는 점을 $\mathrm{B}_n$ 이라 하자. 사각형 $\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{B}_{n+1} \mathrm{A}_{n+1}$ 의 넓이를 $S_n$ 이라 할 때, $$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{\overline{\mathrm{B}_n \mathrm{B}_{n+1}}}{S_n} = \dfrac{3}{2a+2}$$ 을 만족시키는 모든 $a$ 의 값의 합은? ① $2$ ② $\dfrac{9}{4}$ ③ $\dfrac{5}{2}..

자연수 $n$ 에 대하여 $x$ 에 대한 부등식 $x^2-4nx-n

함수 $$f(x)=\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{x^{2n+1}-x}{x^{2n}+1}$$ 에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. $2k-2 \le |x| < 2k$ 일 때, $g(x)=(2k-1) \times f \left (\dfrac{x}{2k-1} \right )$ 이다. (단, $k$ 는 자연수이다.) $0

포물선 $x^2=8y$ 의 초점과 준선 사이의 거리는? ① $4$ ② $\dfrac{9}{2}$ ③ $5$ ④ $\dfrac{11}{2}$ ⑤ $6$ 더보기 정답 ①

한 초점이 $\mathrm{F}(3, \; 0)$ 이고 주축의 길이가 $4$ 인 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 의 점근선 중 기울기가 양수인 것을 $l$ 이라 하자. 점 $\mathrm{F}$ 와 직선 $l$ 사이의 거리는? (단, $a, \; b$ 는 양수이다.) ① $\sqrt{3}$ ② $2$ ③ $\sqrt{5}$ ④ $\sqrt{6}$ ⑤ $\sqrt{7}$ 더보기 정답 ③