수악중독

실수 $x,\;y$ 가 $x^2 +y^2 =1$ 을 만족할 때, $x^3 +y^3$ 의 최댓값과 최솟값의 합은? ① $-1$ ② $0$ ③ $1$ ④ $2$ ⑤ $3$ 정답 ② 이 문제의 풀이는 수학2 수준에서의 풀이법입니다. 심화미적의 학습을 끝낸 학생들은 x=cosθ, y=sinθ 로 치환하여 풀어도 됩니다.

삼차함수 $f(x)=x^3 +ax^2 +bx$ 의 그래프는 극점을 가지며 $x$ 축과 원점에서만 만난다. 또, 도함수 $y=f\;'(x)$ 의 그래프는 $x=n$ (정수)에서 극점을 갖는다고 할 때, 두 상수 $a,\;b$ 의 합 $a+b$ 의 값을 구하시오. (단, $a,\;b$ 는 $10$ 보다 크지 않은 자연수이다.) 정답 16

그림과 같이 높이가 $30 \rm cm$ 인 그릇 $\rm A$ 에 물이 가득 채워져 있고, 그릇 $\rm A$ 바로 아래에 밑면의 반지름의 길이가 $20 \rm cm$ 이고 높이가 $30 \rm cm$ 인 원기둥 모양의 그릇 $\rm B$가 있다. 그릇 $\rm A$ 에 반지름의 길이가 $10 \rm cm$인 쇠공 $\rm C$ 를 매초 $1 \rm cm$ 의 속력으로 잠기도록 넣으면 그릇 $\rm A$ 에서 넘쳐 나온 물이 모두 그릇 $\rm B$ 에 채워진다. 쇠공이 물에 잠기기 시작하여 $10$초가 되는 순간 그릇 $\rm B$ 에서 수면이 상승하는 속도는? (단, 그릇 $\rm A$ 에 넘쳐 나온 물이 그릇 $\rm B$ 에 떨어지는 시간..

좌표공간에서 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 $9$ 인 구가 세 점 ${\rm A}(18,\;0,\;0),\;\;{\rm B}(0,\;9,\;0),\;\; {\rm C}(0,\;0,\;9)$ 를 지나는 평면에 의하여 잘린 도형의 넓이는 $a\pi$ 이다. 이때, $a$ 의 값을 구하시오. 정답 45

한 평면 위에 있지 않은 네 점 $\rm A,\;B,\;C,\;D$ 에 대하여 선분 $\rm BD$, 선분 $\rm CD$, 선분 $\rm AC$, 선분 $\rm AB$ 각각의 중점 $\rm E,\;F,\;G,\;H$ 는 한 평면 위에 있다. $\overline {\rm AB}= \overline {\rm CD}=7$, $\overline {\rm AC}=\overline {\rm BD}=5$, $\overline {\rm BC}=6$ 이고 평면 $\rm ABC$ 와 평면 $\rm BCD$ 가 이루는 각이 $60^o$ 일 때, 사각형 $\rm EFGH$ 의 평면 $\rm BCD$ 위로의 정사영의 넓이를 $S$ 라 하자. 이 때, $4S^2$ 의 값..

정 $n$ 각 기둥에서 밑면의 한 모서리와 꼬인 위치에 있는 모서리의 개수를 $f(n)$ 이라 하자. 예를 들어, $f(3)=3,\;\;f(4)=4$ 이다. 이때, $\sum \limits _{n=3}^{30} f(n)$ 의 값을 구하시오. 정답 826

한 변의 길이가 $2$ 인 정사각형 $\rm ABCD$ 의 각 변의 중점을 각각 $\rm E,\; F,\; G,\; H$ 라고 하자. 그림과 같이 합동인 $4$ 개의 포물선으로 둘러싸인 어두운 부분의 넓이가 $\dfrac{b\sqrt{2}}{a}- \dfrac{d}{c}$ 일 때, $a+b+c+d$ 의 값을 구하시오. (단, $a$ 와 $b$, $c$ 와 $d$ 는 각각 서로소인 자연수이다.) 정답 21

모든 실수 $a$ 에 대하여 직선 $x+2ay=a^2 +1$ 이 지나지 않는 영역을 $A$ 라 하자. 영역 $A$ 중에서 $x \ge 0$ 인 부분을 $y$ 축의 둘레로 회전하여 생긴 회전체의 부피는? ① $\dfrac{3}{4}\pi$ ② $\pi$ ③ $\dfrac{16}{15}\pi$ ④ $\dfrac{6}{5}\pi$ ⑤ $\dfrac{4}{3}\pi$ 정답 ③

두 다항식 $f(x),\;g(x)$ 에 대하여 분수부등식 $\dfrac{1}{f(x)}+\dfrac{1}{g(x)}=1$ 을 풀어 무연근 $\alpha$ 와 무연근이 아닌 근 $\beta$ 를 얻었다. 에서 옳은 것을 모두 고른 것은? ㄱ. $f(\beta)+g(\beta) =0$ 이다. ㄴ. $f(\beta) \ne 1,\; g(\beta) \ne 1$ 이다. ㄷ. $x- \alpha$ 는 두 다항식 $f(x),\; g(x)$ 의 공약수이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ 정답 ⑤

$1$ 이 적혀 있는 구슬이 한 개, $2$ 가 적혀 있는 구슬이 두 개, $3$ 이 적혀 있는 구슬이 세 개, $\cdots$ , $n$ 이 적혀 있는 구슬이 $n$ 개 들어 있는 주머니에서 임의로 한 개의 구슬을 꺼냈을 때, 그 구슬에 적혀 있는 수를 확률변수 $X$ 라 하자. 이때, 옳은 것을 에서 모두 고른 것은? ㄱ. $X=n$ 일 확류을 ${\rm P} (X=n)$ 이라 할 때, $\lim \limits _{n \to \infty} n {\rm P}(X=n)=2$ 이다. ㄴ. $X$ 의 평균을 ${\rm E}(X)$ 라 할 때, \(\lim \limits _{n \to \infty} {\Large \frac{1}{n}} {\rm E} (X) = {\..