수악중독

그림과 같이 $12$ 개의 전구와 전광판으로 이루어진 신호기가 있다. $m$ 열의 전구가 $n$ 개 켜져 있는 경우 $n \cdot 4^{m-1}$ 으로 계산되고, 네 개의 열이 계산된 수의 합이 전광판에 나타난다. 예를 들어, $1$ 열에서 $1$ 개, $3$ 열에서 $2$ 개의 전구가 켜진 경우, 전광판에 $33$ 이 나타난다. $12$ 개의 전구 중 임의로 $2$ 개를 켤 때, 전광판에 짝수가 나타날 확률을 $\large \frac{q}{p}$ ($p,\;q$ 는 서로)라고 하자. $p+q$ 의 값을 구하시오. 정답 35

$1$ 부터 $100$ 까지의 자연수를 곱하여 만든 수를 $P$ 라 하자. 즉, $P=1 \times 2 \times 3 \times 4 \times \cdots \times 98 \times 99 \times 100$ 일 때, $\dfrac{P}{3^n}$ 가 정수가 되는 자연수 $n$ 의 최댓값을 구하시오. 정답 48

빨간색, 파란색, 노란색 세 개의 주사위를 동시에 굴려서 나온 세 눈의 수가 정삼각형이 아닌 이등변삼각형의 세 변의 길이가 될 확률을 $\large \frac{q}{p}$ 라 할 때, $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p,\;q$ 는 서로소인 자연수이다.) 정답 31

$5$ 개의 제비 중에서 당첨제비가 $2$ 개 있다. 갑이 먼저 한 개의 제비를 뽑은 다음 을이 한 개의 제비를 뽑을 때, 갑이 당첨제비를 뽑을 사건을 $A$, 을이 당첨제비를 뽑을 사건을 $B$ 라 하자. 에서 옳은 것을 모두 고른 것은?(단, 한 번 뽑은 제비는 다시 넣지 않는다.) ㄱ. ${\rm P}(A)={\rm P}(B)$ ㄴ. ${\rm P} (B \;\vert \;A) > {\rm P} \left (B \;\vert \;A^c \right )$ ㄷ. ${\rm P} (B \;\vert \;A) = {\rm P} (A \;\vert \;B)$ ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ ④ ㄱ, ㄴ ⑤ ㄱ, ㄷ 정답 ①

주사위를 $10$ 번 던졌을 때, $3$ 의 배수의 눈이 홀수번 나올 확률은? ① $\left ( {\large \frac{1}{3}} \right )^{10}$ ② $1-\left ( {\large \frac{1}{3}} \right )^{10}$ ③ $\left ( {\large \frac{2}{3}} \right )^{10}$ ④ ${\large \frac{1}{2}} \left \{ 1- \left ( {\large \frac{1}{3}} \right )^{10} \right \}$ ⑤ ${\large \frac{1}{2}} \left \{ 1- \left ( {\large \frac{2}{3}} \right )^{10} \right \}$ 정답 ④

좌표평면 위에 오른쪽 그림과 같이 벡터 $\overrightarrow{a_0},\;\;\overrightarrow{a_1},\;\;\cdots,\;\;\overrightarrow{a_6}$ 이 평면 위에 주어져 있다. $\left | \overrightarrow{a_i} \right | = s_i \;\; (i=0,\;1,\; \cdots ,\; 6)$ 라 할 때, 다음 중 옳은 것은? ① $s_0 - s_1 +s_3 -s_4 + s_6 =0$ ② $s_0 +s_1 -s_3 -s_4 +s_6 =0$ ③ $s_0 +s_1 +s_3 -s_4 -s_6 =0$ ④ $s_0 - s_1 -s_3 -s_4 +s_6 =0$ ⑤ $s_0 -s_1 -s_3 +s_4 +s_6 =0$ 정답 ②

모든 실수 $x$ 에 대하여 미분가능한 함수 $f(x)$ 가 $f'(1)=2$ 일 때, $\lim \limits_{x \to 0} \dfrac{f(\cos 3x)-f(\cos x)}{x^2}$ 의 값은? ① $8$ ② $4$ ③ $2$ ④ $-4$ ⑤ $-8$ 정답 ⑤

곡선 $y=e^x$ 위의 점 $\rm P$ 와 원 $(x-1)^2 +y^2 =1$ 위의 점 $\rm Q$ 를 연결하는 선분 $\rm PQ$ 의 길이의 최솟값은? ① $\sqrt{2}-2$ ② $\sqrt{2}-1$ ③ $\sqrt{2}$ ④ $\sqrt{2}+1$ ⑤ $\sqrt{2}+2$ 정답 ②

부등식 $-\ln x \le y \le \ln x,\;\;x>1$ 을 만족시키는 영역 위의 두 동점 ${\rm P} (a,\;b),\;\; {\rm Q}(c,\;d)$ 에 대하여 $\dfrac{b+d}{a+c}$ 의 최댓값은? ① $\dfrac{1}{e}$ ② $1$ ③ $\sqrt{e}$ ④ $e$ ⑤ $e^2$ 정답 ①

좌표공간에서 구 $S$ 는 $xy$ 평면에 접하고 두 점 ${\rm A}(0,\;0,\;1),\;\; {\rm B} (0,\;1,\;2)$ 를 지난다. 이 때, $S$ 의 반지름의 길이의 최댓값과 최솟값의 차는? ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$ 정답 ④