수악중독

오른쪽 그림과 같은 그릇에 물을 넣을 때, 깊이가 $x$ 이면 수면의 넓이 $S(x)$ 는 $S(x)=\dfrac {4}{81} x^3 + \dfrac{2}{9} x +1$ 이고, 수면의 상승 속도는 시각 $t$ 에 대하여 $v(t)=6-2t$ 라 한다. 이 때, 이 그릇에 담을 수 있는 물의 부피의 최댓값을 구하시오. (단, 처음에는 그릇에 물이 담겨져 있지 않다.)

함수 $f_n (x)= \left ( nx - \sum \limits _{k=1}^{n} a_k \right ) ^2$ 가 ${\displaystyle \int} _{0}^{1} f_n ' (x) dx = -n^3$ 을 만족할 때, 중 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, $a_1 ,\; a_2 ,\; a_3 ,\; \cdots , \; a_n$ 은 상수) ㄱ. $\sum \limits _{k=1}^{n} a_k = {\Large \frac {n(n+1)}{2}}$ ㄴ. $f_2 (2) =3$ ㄷ. ${\displaystyle \int} _{0}^{n+1} f_n (x) dx = 2 {\displaystyle \int }_{0}^{\frac {n+1}{2}} f_n (x) dx$ ..