수악중독

좌표평면에서 곡선 $y=\sqrt{x} \; (x>0)$ 위의 점 $\mathrm{P}$ 에 대하여 동경 $\mathrm{OP}$ 가 나타내는 각의 크기를 $\theta$ 라 하자. $\cos^2 \theta - 2 \sin^2 \theta = -1$ 일 때, 선분 $\mathrm{OP}$ 의 길이는? (단, $\mathrm{O}$ 는 원점이고, $x$ 축의 양의 방향을 시초선으로 한다.) ① $\dfrac{1}{2}$ ② $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ③ $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ④ $1$ ⑤ $\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ 더보기 정답 ③

그림과 같이 두 곡선 $y=2^{x+1}, \; y=2^{-x+1}$ 과 세 점 $\mathrm{A(-1, \; 1), \; B(1, \; 1), \; C(0, \; 2)}$ 가 있다. 실수 $k \; (1 \lt k \lt 2)$ 에 대하여 두 곡선 $$y=2^{x+1}, \quad y=2^{-x+1}$$ 과 직선 $y=k$ 가 만나는 점을 각각 $\mathrm{D, \; E}$, 직선 $y=2k$ 가 만나는 점을 각각 $\mathrm{F, \; G}$ 라 하자. 사각형 $\mathrm{ABED}$ 의 넓이와 삼각형 $\mathrm{CFG}$ 의 넓이가 같을 때, $k$ 의 값은? ① $2^{\frac{1}{6}}$ ② $2^{\frac{1}{3}}$ ③ $2^{\frac{1}{2}}$ ④ $2^{\f..

그림과 같이 길이가 $4$ 인 선분 $\mathrm{AB}$ 를 지름으로 하는 반원이 있다. 선분 $\mathrm{AB}$ 의 중점을 $\mathrm{O}$ 라 하고, 호 $\mathrm{AB}$ 위의 점 $\mathrm{C}$ 에 대하여 점 $\mathrm{A}$ 를 지나고 선분 $\mathrm{OC}$ 와 평행한 직선과 호 $\mathrm{AB}$ 의 교점을 $\mathrm{P}$, 선분 $\mathrm{OC}$ 와 선분 $\mathrm{BP}$ 의 교점을 $\mathrm{Q}$ 라 하자. 점 $\mathrm{Q}$ 를 지나고 선분 $\mathrm{PO}$ 와 평행한 직선과 선분 $\mathrm{OB}$ 의 교점을 $\mathrm{D}$ 라 하자. $\angle \mathrm{CAB}=\theta$ ..

$1$ 이 아닌 두 자연수 $a, \; b$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $a \lt b \lt a^2$ (나) $\log_a b$ 는 유리수이다. $\log a \lt \dfrac{3}{2}$ 일 때, $a+b$ 의 최댓값은? ① $250$ ② $270$ ③ $290$ ④ $310$ ⑤ $330$ 더보기 정답 ②

자연수 $n$ 에 대하여 $\dfrac{n-1}{6}\pi \le x \le \dfrac{n+2}{6} \pi$ 에서 함수 $$f(x) = \left | \sin x - \dfrac{1}{2} \right |$$ 의 최댓값을 $g(n)$ 이라 하자. $40$ 이하의 자연수 $k$ 에 대하여 $g(k)$ 가 무리수가 되도록 하는 모든 $k$ 의 값의 합은? ① $115$ ② $117$ ③ $119$ ④ $121$ ⑤ $123$ 더보기 정답 ⑤

$\sqrt[3]{27^2} \times 3^2$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $81$ $\sqrt[3]{27^2} \times 3^2 = \sqrt[3]{ \left (3^3 \right)^2} \times 3^2=\sqrt[3]{3^6} \times 3^2 = 3^{\frac{6}{3}} \times 3^2 = 3^2 \times 3^2 = 3^4=81$

방정식 $\log_{\frac{1}{2}}(x+3)= -4$ 의 해를 구하시오. 더보기 정답 $13$ $\log_{2^{-1}}(x+3)=-4$ $-\log_2(x+3)=-4$ $\log_2(x+3)=4$ $x+3=2^4=16$ $\therefore x= 13$

두 함수 $y=\cos \dfrac{2}{3}x$ 와 $y=\tan \dfrac{3}{a}x$ 의 주기가 같을 때, 양수 $a$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $9$ $y=\cos \dfrac{2}{3}x$ 의 주기는 $\dfrac{\; 2\pi\; }{\; \dfrac{2}{3}\; }=3\pi$ $y=\tan \dfrac{3}{a}x$ 의 주기는 $\dfrac{\; \pi\; }{\; \dfrac{3}{a}\; }=\dfrac{a}{3}\pi$ $3\pi = \dfrac{a}{3}\pi$ $\therefore a=9$

함수 $f(x)=4\cos (x+\pi)+k$ 의 그래프가 점 $\left (\dfrac{\pi}{3}, \; 5 \right )$ 를 지날 때, 상수 $k$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $7$ $f \left (\dfrac{\pi}{3} \right ) = 4 \cos \left ( \dfrac{4}{3} \pi \right ) +k = 4 \times \left (-\dfrac{1}{2} \right ) + k = -2+k=5$ $\therefore x=7$

등식 $$\left (3^a + 3^{-a} \right )^2 = 2 \left (3^a + 3^{-a} \right ) + 8$$ 을 만족시키는 실수 $a$ 에 대하여 $27^a + 27^{-a}$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $52$