그림과 같이 두 곡선 $y=2^{x+1}, \; y=2^{-x+1}$ 과 세 점 $\mathrm{A(-1, \; 1), \; B(1, \; 1), \; C(0, \; 2)}$ 가 있다. 실수 $k \; (1 \lt k \lt 2)$ 에 대하여 두 곡선 $$y=2^{x+1}, \quad y=2^{-x+1}$$ 과 직선 $y=k$ 가 만나는 점을 각각 $\mathrm{D, \; E}$, 직선 $y=2k$ 가 만나는 점을 각각 $\mathrm{F, \; G}$ 라 하자. 사각형 $\mathrm{ABED}$ 의 넓이와 삼각형 $\mathrm{CFG}$ 의 넓이가 같을 때, $k$ 의 값은?
① $2^{\frac{1}{6}}$ ②$2^{\frac{1}{3}}$ ③$2^{\frac{1}{2}}$ ④$2^{\frac{2}{3}}$ ⑤$2^{\frac{5}{6}}$
